Hernando Pérez

junio 03, 2024

Concepto de continuidad
Continuidad de las funciones elementales
Límites laterales
1. Concepto de continuidad
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.
Ejemplo de función continua: $f (x) = x^{3}$ .
Gráfica:

Ejemplo de función no continua: $f (x) = 1 / x$ .
Gráfica:
Definición formal:
La función $f$ es continua en el punto $c$ si
$lim_{𝑥 \to 𝑐} 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑐)$
La función $f$ es continua si es continua en todos los puntos.
Por ejemplo, la función $f (x) = 1 / x$ no es continua en $x = 0$ porque no existe $f (0)$ .
Observaciones:
En realidad, para hablar de continuidad en un punto $a$ , debería ser indispensable que el punto $a$ pertenezca al dominio de la función.
Por ejemplo, el dominio de $f (x) = 1 / x$ es $R - {0}$
y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de
$f (x)$ cuando $x \to 0$ ni existe $f (0)$ , por lo que decimos que $f$ no es continua en $x = 0$ .
Como normalmente consideramos a todas las funciones como $f : R \to R$ , tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.
2. Funciones elementales
- Funciones polinómicas
  $𝑓 (𝑥) = 𝑎_{𝑚} 𝑥^{𝑚} + 𝑎_{𝑚 - 1} 𝑥^{𝑚 - 1} +$ $+ . . . + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{0}$
  Son continuas en todos los reales.
- Funciones racionales
  $𝑓 (𝑥) = \frac{𝑝 (𝑥)}{𝑞 (𝑥)}$
  Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.
- Funciones exponenciales
  $𝑓 (𝑥) = 𝑎^{𝑥}$
  Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, $a \leq 0$ , puede haber complicaciones.
- Funciones logarítmicas
  $𝑓 (𝑥) = \log (𝑥)$
  Son continuas en todos los reales positivos.
- Funciones irracionales
  $𝑓 (𝑥) = \sqrt[𝑛]{𝑥}$
  Si $n$ es par, son continuas en todos los reales. Si $n$ es impar, en los reales positivos.
- Funciones trigonométricas
  El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en $π / 2 + n π$ para todo entero $n$ .
La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad.
3. Límites laterales Intuitivamente, el límite de una función
$f (x)$ cuando $x \to a$ es el valor al que $f (x)$ se aproxima cuando $x$ se aproxima a $a$ .
Sin embargo, en ocasiones, la función $f (x)$ se aproxima a uno u otro valor según si $x$ se aproxima a $a$ por la izquierda o por su derecha. Por esta razón existe el concepto de límite lateral.
Límite lateral de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda:
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{-}} 𝑓 (𝑥)$
Límite lateral de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha:
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{+}} 𝑓 (𝑥)$

Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite:
$∄ lim_{𝑥 \to 𝑎} 𝑓 (𝑥)$
Si coinciden, entonces
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{+}} 𝑓 (𝑥) = lim_{𝑥 \to 𝑎} 𝑓 (𝑥) = lim_{𝑥 \to 𝑎^{-}} 𝑓 (𝑥)$
Por ejemplo, la gráfica de $f (x) = 1 / (2 x)$ es
En la gráfica se observa que
- Cuando $x$ se aproxima a 0 por la derecha, la función crece indefinidamente: $lim_{𝑥 \to 0^{+}} 1 / 2 𝑥 = + \infty$
- Cuando $x$ se aproxima a 0 por la izquierda, la función decrece indefinidamente: $lim_{𝑥 \to 0^{-}} 1 / 2 𝑥 = - \infty$
Por tanto, no existe el límite cuando $x \to 0$ :
$\exists̸ lim x \to 0 1 / 2 x$
Intuitivamente, el límite de una función $f (x)$ cuando $x \to a$ es el valor al que $f (x)$ se aproxima cuando $x$ se aproxima a $a$ .
Sin embargo, en ocasiones, la función $f (x)$ se aproxima a uno u otro valor según si $x$ se aproxima a $a$ por la izquierda o por su derecha. Por esta razón existe el concepto de límite lateral.
Límite lateral de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda:
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{-}} 𝑓 (𝑥)$
Límite lateral de $f (x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha:
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{+}} 𝑓 (𝑥)$

Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite:
$∄ lim_{𝑥 \to 𝑎} 𝑓 (𝑥)$
Si coinciden, entonces
$lim_{𝑥 \to 𝑎^{+}} 𝑓 (𝑥) = lim_{𝑥 \to 𝑎} 𝑓 (𝑥) = lim_{𝑥 \to 𝑎^{-}} 𝑓 (𝑥)$
Por ejemplo, la gráfica de $f (x) = 1 / (2 x)$ es
En la gráfica se observa que
- Cuando $x$ se aproxima a 0 por la derecha, la función crece indefinidamente: $lim_{𝑥 \to 0^{+}} 1 / 2 𝑥 = + \infty$
- Cuando $x$ se aproxima a 0 por la izquierda, la función decrece indefinidamente: $lim_{𝑥 \to 0^{-}} 1 / 2 𝑥 = - \infty$
Por tanto, no existe el límite cuando $x \to 0$ :
$\exists̸ lim x \to 0 1 / 2 x$
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link para descarga https://youtu.be/UfOvXKxvSMY