Definicion de derivada:
En las funciones matemáticas, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable, cuando este último tiende a cero:
la derivada expresa la variación de una función.
Entendimiento sobre el tema
Las derivadas son esenciales en el diseño y análisis de sistemas y procesos en la ingeniería y las ciencias de la computación. Se utilizan para optimizar funciones y modelos, calcular tasas de cambio en sistemas dinámicos, analizar señales y realizar operaciones matemáticas avanzadas.
 |
En México, en el curriculum de Cálculo de nivel medio superior, el concepto de derivada se muestra normalmente a los estudiantes como una recta tangente a la curva y, posteriormente, se proporciona su tratamiento analítico. Esto genera que la comprensión de dicho concepto se reduzca a la memorización de expresiones algebraicas y cálculos algorítmicos, lo que con-lleva a no relacionarlo con fenómenos físicos que presentan variaciones y cambios, así como pensar que la derivada es únicamente un límite indeterminado. Dentro de las investigaciones en Matemática Educativa, el concepto de derivada ha sido ampliamente estudiado por su importancia dentro de la matemática y la dificultad que se observa en su enseñanza y su aprendizaje. Estas investigaciones aportan información suficiente a profesores para utilizar y diseñar actividades en torno al concepto, apoyándose en los resultados de investigación. En este artículo se presenta una secuencia didáctica cuyo objetivo es introducir el concepto de derivada a través de un fenómeno que presenta variaciones y cambios, buscando, además, la coordinación entre los registros de representación en estudiantes de bachillerato que tienen un primer acercamiento a este concepto.
Palabras clave: derivada; variación y cambio; registros de representación; secuencia didáctica; bachillerato
INTRODUCCIÓN
Dentro del curriculum mexicano de Cálculo de nivel medio superior, se trabaja por primera vez el concepto de derivada y suele hacerse mediante una definición de límite indeterminado para después proporcionar una serie de reglas que permitan derivar funciones.
De acuerdo con Vrancken y Engler (2014), el cálculo es la matemática de la variación. Por medio de conceptos como el de derivada podemos modelar, expresar, y predecir situaciones que presentan variaciones y cambios. Sin embargo, algunos autores (e.g. Artigue, 1998; Salinas y Alanís, 2009; Vrancken y Engler; 2014) mencionan que la enseñanza del cálculo se sigue centrando en prácticas algorítmicas y estructuras formales de la matemática que no aportan un significado al estudiante. Específicamente, la enseñanza del concepto de derivada tradicionalmente se basa en que el estudiante domine los procesos para obtener derivadas de expresiones algebraicas por medio de fórmulas sin lograr la comprensión de este concepto (Dolores, 2009).
Existen diversos trabajos de investigación dedicados a explorar el concepto de derivada, en su mayoría, con estudiantes de licenciatura que ya han tenido contacto con este concepto (e.g. Borji, Font, Alamolhodaei y Sánchez, 2018). En Educación Matemática, particularmente, dichas investigaciones analizan y/o promueven la comprensión del concepto a partir de distintos ámbitos según sus intereses (e.g. Robles, Del Castillo y Font, 2012).
De acuerdo con algunos de estos resultados de investigación, hemos diseñado una secuencia didáctica que permite introducir el concepto de derivada en estudiantes de bachillerato que por primera vez tienen contacto con el tema, a través del trabajo con contextos de variación y provocando el tránsito entre distintos registros de representación.
Con base en la problemática que hemos planteado y la literatura de investigación consultada, pretendemos que el estudiante logre comprender los fundamentos del concepto de derivada a través de dos enfoques, la idea de variación y cambio implícita en el propio concepto y el tránsito entre los diferentes registros en los que éste se puede representar, para que pueda aplicarla según el con-texto en el que se encuentre.
Antecedentes
El estudio del Cálculo presenta diversas dificultades para los estudiantes, tanto en el bachillerato, como en la universidad. Tall (1993) realiza una síntesis que incluye aspectos didácticos, epistemológicos y cognitivos que causan dificultades en la comprensión de los elementos centrales de esta asignatura. En la investigación en didáctica del cálculo se han realizado propuestas para atender a las dificultades que presentan los estudiantes para su aprendizaje. Dichas propuestas han pasado por la reestructuración del currículo (e.g. Salinas y Alanís, 2009); la identifación de enfoques didácticos para la enseñanza y de sus alcances y deficiencias (e.g. Artigue, 1995; Moreno, 2005); la determinación de conocimientos
matemáticos y didáctico-matemáticos (o carencias de estos) de profesores en servicio o en formación (e.g. Pino-Fan, Godino y Font, 2018), y diversas propuestas para el aprendizaje de conceptos del Cálculo (e.g. Orts, Llinares y Boigues, 2016).
Por otra parte, Moreno (2005) menciona que, en la literatura concerniente a la didáctica del cálculo, existen dos enfoques con distintos objetivos para la enseñanza: que los estudiantes hagan matemáticas por medio de aplicaciones y comprendan la relación entre los elementos que conforman el cálculo o que los estudiantes formulen, propongan, conjeturen, validen, argumenten y discutan con sus compañeros de clase. Además, Artigue (1995) menciona un enfoque distinto en el cual se propone que el estudiante, desde un inicio, coordine los registros algebraico, numérico y gráfico de los conceptos y procesos que están aprendiendo. La autora propone trabajar las intuiciones y concepciones de los estudiantes para que éstas logren evolucionar a través de situaciones adaptadas.
Asimismo, García y Dolores (2016) trabajan el concepto de derivada con estudiantes de primer año de licenciatura a través de secuencias didácticas, basadas en lo que denominan Pensamiento y Lenguaje Variacional. Los autores diseñaron una secuencia para cada una de las tres fases graduales en las que dividieron la toma de datos. En la primera fase se trabajaron conceptos iniciales y fundamentales (¿qué cambia?, ¿cuánto cambia?, ¿cómo cambia?), para que más adelante estos fueran utilizados al relacionarlos con el concepto de derivada, en la segunda fase se trabajaron actividades para la formación del concepto de derivada y sus características. En la última fase se diseñó la secuencia de manera que se estableciera la asimilación y repaso del concepto. En estas actividades se trabajaron los registros: verbal (que se presenta propiamente como el lenguaje matemático), numérico (al trabajar con sucesiones numéricas), gráfico (al trabajar con figuras o imágenes) y algebraico (con el uso de expresiones algebraicas).
Mientras que, en Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008) se estudia la comprensión del desarrollo del esquema de la derivada en el nivel bachillerato y primer año de la universidad. Se muestra, además, que los estudiantes pasan de un nivel a otro en el esquema a partir de la forma en que realizan la representación. Las características de los elementos matemáticos que conocen los estudiantes los ayudan a obtener nueva información para la resolución de problemas al establecer la relación lógica que se da entre dichos elementos. Otro de los resultados es que los estudiantes presentan dificultades para establecer relaciones entre comportamientos puntuales y globales del concepto, además de que existe una construcción progresiva del esquema y los modos de representación para el concepto.
En cuanto a las propuestas de enseñanza y aprendizaje del tema de deriva-das, encontramos que, en gran parte de éstas, las gráficas son utilizadas para analizar comportamientos de funciones como concavidades, crecimiento, máximos o mínimos. Por ejemplo, Flores (2007) menciona que las gráficas funcionan como estrategia para el análisis de funciones en contextos matemáticos y extramatemáticos. Él trabajó con estudiantes de nivel medio superior para conocer la interpretación que los estudiantes proporcionan al analizar un fenómeno que describe variaciones. En la primera parte de la actividad se solicita a los estudiantes construir una gráfica que modele los cambios en la posición de una persona que realiza un movimiento. Posteriormente, con la ayuda de sensores, se realiza la simulación para obtener la gráfica. Al realizar las simulaciones del movimiento se espera que los estudiantes describan las variaciones que se presentan y lo relacionen con la gráfica obtenida. Finalmente, se realiza una comparación entre la gráfica propuesta y la hallada con el sensor. En esta investigación se concluye que, al trabajar con situaciones como las descritas, los estudiantes adquieren aprendizajes por intuición por medio de la interpretación y construcción de gráficas.
También Vrancken y Engler (2014) trabajan con el concepto de derivada desde una perspectiva de variación y cambio. En esta investigación se trabajó con estudiantes de nivel universitario que respondieron a cuestionarios previos que ayudaron a reconocer deficiencias en la comprensión del concepto de derivada. Posteriormente se diseñó una actividad que permitiera atender estas dificultades. Los resultados obtenidos muestran que la metodología utilizada por el docente permitió a los estudiantes elaborar la definición de derivada. El trabajo grupal favoreció la comprensión de la transición entre diferentes formas de representar el concepto de derivada. Una de las dificultades detectadas fueron las deficiencias en el manejo de conocimientos previos necesarios tanto conceptuales como algo-rítmicos, como por ejemplo al hacer el cálculo de la velocidad instantánea.
Otros aportes esenciales de la Educación Matemática a la enseñanza y aprendizaje de la derivada son las investigaciones realizadas alrededor de la variedad de representaciones que puede tener un objeto matemático, considerándose como un elemento esencial en el pensamiento matemático la coordinación y trasferencia entre los mismos (Duval, 2006). Flores (2007) utiliza el registro gráfico para el análisis de una situación que presenta variaciones y cambio y García y Dolores (2016), además de utilizar el pensamiento y lenguaje variacional, trabajan a la derivada mediante los registros numérico, algebraico y geométrico.
Marco teórico
La propuesta didáctica que aquí se detalla fue construida bajo la base de dos constructos teóricos principales. Por un lado, siendo conscientes de los distintos significados de la derivada (ver Pino-Fan, Castro, Godino y Font, 2013), centramos esta propuesta en la derivada como cálculo de fluxiones (visión Newtoniana de la derivada) y el significado de Cálculo de Diferencias (visión Leibinitziana de la derivada). Para ello nos valimos del Pensamiento y Lenguaje Variacional. Por otro lado, nuestra propuesta didáctica enfatiza en las transformaciones entre registros de representación. A continuación, detallamos los aspectos centrales de estos dos enfoques.
El Pensamiento y Lenguaje Variacional es una línea de investigación encargada de estudiar la evolución y desarrollo del lenguaje de fenómenos que presentan variaciones. Cantoral (2013) menciona que, en la educación, esta línea de investigación estudia los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de conocimientos matemáticos relacionados con la variación y el cambio. En este contexto la predicción es una herramienta para el desarrollo y la comprensión de fenómenos dinámicos, un estudiante desarrolla Pensamiento y Lenguaje Variacional cuando es capaz de predecir el cambio y cuantificarlo.
Los estudios sobre Pensamiento y Lenguaje Variacional han aportado estrategias y herramientas didácticas basadas en la idea de predicción y cuantificación. En su mayoría, se proponen secuencias didácticas para estudiar fenómenos que presentan cambios a partir de su gráfica, expresión algebraica o con el uso de software para modelar dichos fenómenos (e.g. Dolores, 2016). Estas estrategias y herramientas van dirigidas a estudiantes, profesores y profesores en formación.
En la línea del pensamiento y lenguaje variacional la derivada se trabaja a partir de los aspectos epistemológico y didáctico. Referente al aspecto epistemológico Alanís (1996) hace uso de la predicción para llegar a lo analítico, con el análisis didáctico trabajó la transición de magnitudes constantes a magnitudes variables. Pulido (1997) apoyado en el Cálculo desarrollado por Leibniz, trabaja el concepto de derivada a partir de fenómenos de física.
Con respecto a los registros de representación, nos basamos en Duval (2006), quien menciona que dichos registros de representación deben permitir la manipulación y transformación dentro de un mismo registro y/o permitir la transformación total o parcial a otro registro, puesto que, si un estudiante logra articular al menos tres registros de representación de un concepto matemático, entonces puede decirse que ha comprendido dicho concepto.
Sánchez-Matamoros, et al. (2008) mencionan que la clasificación que se hace en la investigación de algunos registros de representación del concepto de derivada son:
Numérico: Se puede obtener la derivada como una sucesión de cocientes diferenciales en un intervalo, cuando una variable aumenta y la otra se queda fija.
Gráfico: Se analiza que ocurre cuando el cambio de longitudes en el eje cambia con respecto a la longitud en el eje Y. Dentro de este registro se pueden hacer transformaciones, por ejemplo, pasar de la gráfica de la función a la gráfica de su derivada y viceversa, como pendiente de la recta tangente a una curva.
Algebraico: Se establece como el límite del cociente diferencial cuando las diferencias en X se aproximan a cero.
Verbal: En el que se presenta propiamente como parte del lenguaje mate-mático, como pendiente de una recta tangente o como razón de cambio instantáneo.
https://youtu.be/5EocMnIFac4?t=6
https://youtu.be/c5xP1SESDOY?t=4
Comentarios
Publicar un comentario