Reglas de las derivadas

 Lunes 24 de junio del 2024                                                           Hernando Perez Aguilar

Reglas de Derivación

La derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.

• En primer lugar aprenderemos los nombres de las tres reglas básicas de derivación.
• Luego aprenderemos la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
• Después veremos algunos ejemplos usando estas reglas de derivación.
• Por último, tendremos una tabla con las reglas de derivación a modo de formulario.

• Regla de la Cadena

  Seguramente, cuando has entrado a cálculo has derivado funciones sencillas como las siguientes:

• 
  
  Pero, también seguramente, en tu segunda clase te has topado con operaciones mucho más difíciles y te has quedado boquiabierto porque no tienes una forma de resolverlas directamente. Hablamos de funciones como las siguientes:

  $$𝑓(𝑥)=\sin ({𝑒}^{{𝑥}^2})$$

  Bastante más difícil, ¿no es cierto? Es una función seno que tiene por argumento un exponencial elevado a una variable al cuadrado. Pero, ¡que no cunda el pánico! Esto es más sencillo de lo que parece, si usas la regla de la cadena.Pero, también seguramente, en tu segunda clase te has topado con operaciones mucho más difíciles y te has quedado boquiabierto porque no tienes una forma de resolverlas directamente. Hablamos de funciones como las siguientes:

• Derivadas y la regla de la cadena

  La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede usarse para diferenciar una función compuesta.

  Una función compuesta combina dos o más funciones para crear una nueva función; puede denominarse función de una función.

  Recordando la función anterior, $𝑓(𝑥)=\sin ({𝑒}^{{𝑥}^2})$.

  podemos decir que la variable al cuadrado es la función: $𝑓(𝑥)={𝑥}^2$.

• La exponencial de esta variable es otra función, $𝑔(𝑥)={𝑒}^{𝑓(𝑥)}$.

  y el seno con argumento del exponencial es otra función también: $ℎ(𝑥)=\sin (𝑔(𝑥))$.

  Por lo tanto, es una función compuesta; una función compuesta por otras funciones. Para resolver estas funciones compuestas, la regla de la cadena usa lo que llamaríamos el producto de las derivadas, donde la derivada total es la multiplicación de las derivadas de cada función. Veamos las fórmulas y algunos ejemplos, para ayudarte más con ello.

• Fórmula de la regla de la cadena

  Existe una fórmula para utilizar la regla de la cadena cuando y es una función de $𝑢$ y $𝑢$es una función de $𝑥$:

  $${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$$

  La fórmula también se puede escribir en notación de función si: $𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))$.

  entonces, se tiene: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥)){𝑔}^{\prime }(𝑥)$.

Ejemplos de la regla de la cadena

Veamos algunos ejemplos de la regla de la cadena para entenderla mejor:

Encuentra la derivada de: $𝑓(𝑥)=(2𝑥-1{)}^3$. 

Solución

En primer lugar, puedes empezar mirando la fórmula de la regla de la cadena antes de reescribir la función:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥)){𝑔}^{\prime }(𝑥)$$

$$𝑦={𝑢}^3$$

$$𝑢=2𝑥-1$$

A continuación, puedes tomar la nueva función y derivarla, para encontrar:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}},{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$$

$$𝑦={𝑢}^3{\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=3{𝑢}^2$$

Ahora, puedes diferenciar tú la nueva variable, para encontrar: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$.

$$𝑢=2𝑥-1$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=2$$

Ahora que tienes cada aspecto de la fórmula, puedes encontrar la derivada:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}},{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=(2)3{𝑢}^2$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=6{𝑢}^2$$

Por último, debes asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de $𝑥$;

para ello, puedes sustituirla por:

$$𝑢=2𝑥-1$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=6{𝑢}^2$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=6(2𝑥-1{)}^2$$

La pregunta también puede implicar algunas funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo de cómo resolverla:

Encuentra la derivada de: $𝑓(𝑥)=(\sin (𝑥){)}^5$.

Solución

Puedes empezar esto, igual que antes, encontrando cada parte de tu fórmula:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$$

$$𝑦={𝑢}^5$$

$$𝑢=\sin (𝑥)$$

A continuación, puedes diferenciar para encontrar: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}},{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$.

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=5{𝑢}^4$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=\cos (𝑥)$$

Ahora que tienes todos las partes, puedes resolver para encontrar la derivada o: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}$.

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}{\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=5{𝑢}^4$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=5{𝑢}^4\cos (𝑥)$$

Una vez más, tienes que asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de $𝑥$; para ello, debes volver a sustituir en: $𝑢=\sin (𝑥)$.

Lo cual te da: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=5(\sin (𝑥){)}^4\cos (𝑥)$.

Es posible que te den la pregunta en forma de notación de función y te pidan que la diferencies.

Diferencia: $𝑓(𝑔(𝑥))=(3{𝑥}^2+2{)}^2$.

Solución

En primer lugar, tienes que empezar por mirar tu fórmula de notación de funciones.

Si la función es $𝑦=𝑓(𝑔(𝑥))$.

Entonces, ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥)){𝑔}^{\prime }(𝑥)$.

Ahora ya puedes identificar tus funciones, que son:

$$𝑓(𝑥)={𝑥}^2$$

$$𝑔(𝑥)=3{𝑥}^2+2$$

A continuación, puedes diferenciar ambas, para encontrar sus derivadas:

$${𝑓}^{\prime }(𝑥)=2𝑥$$

$${𝑔}^{\prime }(𝑥)=6𝑥$$

Para la fórmula, también necesitas encontrar: ${𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥))$.

que es: ${𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥))=2(3{𝑥}^2+2)$.

Ya que tienes todos los aspectos de la fórmula de notación de la función, puedes sustituir cada parte y hallar la derivada o ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}$:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={𝑓}^{\prime }(𝑔(𝑥)){𝑔}^{\prime }(𝑥)$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=2(3{𝑥}^2+2)(6𝑥)$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=(6{𝑥}^2+4)(6𝑥)$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=36{𝑥}^3+24𝑥$$

Crea y estudia con tarjetas

Crea tarjetas educativas rápidamente y estúdialas con modos de aprendizaje respaldados por la ciencia en la aplicación StudySmarter.

Regístrate gratis

¿Qué pasa si la función no tiene la forma $𝑦=𝑓(𝑥)$?

Es importante tener en cuenta la fórmula que usarías si la función que te dan no tiene la forma que hemos usado aquí. La fórmula que hay que utilizar para ello es: ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{𝑑𝑥}{𝑑𝑦}}}}$

La pregunta, entonces, podría ser algo así:

Encuentra el valor de la derivada en el punto p de la siguiente curva:

$${𝑦}^4+2𝑦=𝑥$$

$$𝑝=(4,1)$$

Solución

Vamos a trabajar con esta pregunta para ver cómo se resuelve.

Primero, puedes empezar diferenciando la ecuación con respecto a $𝑦$:

$${𝑦}^4+2𝑦=𝑥$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=4{𝑦}^3+2$$

A continuación, sustituye tu ecuación diferenciada en la fórmula:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{𝑑𝑥}{𝑑𝑦}}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{4{𝑦}^3+2}}$$

Ahora, todo lo que tienes que hacer es sustituir la $𝑦$ del punto de la curva de la pregunta en la fórmula para encontrar tu respuesta:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{4{𝑦}^3+2}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{4(1{)}^3+2}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$

Encuentra el valor de la derivada en el punto $𝑝$ de la siguiente curva:

$$4{𝑦}^3+3𝑦=𝑥$$

$$𝑝=(6,3)$$

Solución

Una vez más, empiezas diferenciando la ecuación con respecto a $𝑦$:

$$4{𝑦}^2+3𝑦=𝑥$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}=8𝑦+3$$

Ahora, puedes introducirlo en la fórmula para encontrar el valor de la derivada en el punto $𝑝$:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{\frac{𝑑𝑥}{𝑑𝑦}}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{8𝑦+3}}$$

A continuación, sustituye el valor de $𝑦$ de las coordenadas para resolver la ecuación:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{8𝑦+3}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{8(3)+3}}$$

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}={\displaystyle \frac{1}{27}}$$

Regla de la cadena inversa e integrales

La regla de la cadena se puede aplicar en otros contextos; uno de ellos es para ayudarte a integrar funciones. La regla de la cadena inversa se utiliza al integrar una función: consiste en tomar la función diferenciada, identificar si es una función compuesta en la que se aplicó la regla de la cadena y devolverla a su forma original.

Veamos un ejemplo:

Integra: $\int 2𝑥{𝑒}^{{𝑥}^2}𝑑𝑥$.

Solución

Sabemos que esta función es el resultado de una derivada, así que primero debemos identificar si esta función es el resultado de una derivada donde se usó la regla de la cadena.

Para hacer esto, puedes empezar por identificar tu función principal y descomponerla para revertirla a su integral original:

• Primero, podemos identificar que la función que multiplica a la exponencial es igual a la derivada del exponente:

$${\displaystyle \frac{𝑑}{𝑑𝑥}}{𝑥}^2=2𝑥𝑑𝑥$$

• Esto significa que se tiene: ${\displaystyle \int {𝑓}^{\prime }(𝑥)𝑔(𝑓(𝑥))𝑑𝑥}$.

• Por lo tanto, esta función a integrar es el resultado de aplicar la regla de la cadena a la función original. En este caso, la integral es simplemente la función:

$$\int {𝑓}^{\prime }(𝑥)𝑔(𝑓(𝑥))𝑑𝑥=𝑔(𝑥)$$

• Con lo que se tiene: ${\displaystyle \int 2𝑥{𝑒}^{{𝑥}^2}𝑑𝑥={𝑒}^{{𝑥}^2}}$.
• https://youtu.be/5EocMnIFac4?t=3

Regla del producto

Hay veces que tendrás un producto de funciones, y debes obtener la derivada de ambas. En este caso, podrías expandir las funciones, así se tienen dos polinomios como: 

Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥{)}^{\prime }𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥{)}^{\prime }𝑓(𝑥)$$

$$({𝑥}^3+2{𝑥}^2+1)({𝑥}^4+𝑥)$$

Esto se puede expandir para obtener una sola función, que es:

Eso es más fácil de derivar. Pero, ¿qué pasa cuándo tienes funciones más complejas? o ¿qué pasaría si pudieses hacerlo sin expandir las funciones? Aquí podemos introducirte a lo que se conoce como la regla del producto. 

Regla del producto de funciones

La regla del producto es una de las reglas de diferenciación que debes conocer. Esta regla se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones.

En general la fórmula del producto es la siguiente:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥{)}^{\prime }𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥{)}^{\prime }𝑓(𝑥)$$

Fórmula general de la derivada del producto

Aquí, tanto $𝑓(𝑥)$ como $𝑔(𝑥)$ son funciones, en general. Esto también se puede representar si usamos $𝑣=𝑓(𝑥)$ y $𝑢=𝑔(𝑥)$; esto sería:

$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$

Regla del producto: ejemplos

Lo mejor para poder comprender la reglas del producto es hacer algunos ejemplos:

Deriva la siguiente función:

$$ℎ(𝑥)=(3{𝑥}^2)\cos (𝑥)$$

Solución

Aquí las funciones son:

$$𝑢=(3{𝑥}^2)$$

$$𝑣=\cos (𝑥)$$

Por lo cual, podemos obtener ${𝑢}^{\prime }$ y ${𝑣}^{\prime }$:

$${𝑢}^{\prime }=(6𝑥)$$

$${𝑣}^{\prime }=-\sin (𝑥)$$

Si sustituimos esto en la formula original$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=6𝑥\cos (𝑥)+3{𝑥}^2(-\sin (𝑥))$$

Simplificando esto se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=6𝑥\cos (𝑥)-3{𝑥}^2\sin (𝑥)$$

Ahora, veamos un ejemplo que contenga una sustitución trigonométrica.

Deriva la siguiente función:

$$ℎ(𝑥)=\cos (𝑥)\cos (𝑥)$$

Solución

Aquí las funciones son:

$$𝑢=\cos (𝑥)$$

$$𝑣=\cos (𝑥)$$

Por lo cual, podemos obtener:

${𝑢}^{\prime }$ y ${𝑣}^{\prime }$.

$${𝑢}^{\prime }=-\sin (𝑥)$$

$${𝑣}^{\prime }=-\sin (𝑥)$$

Si sustituimos esto en la fórmula original$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$, se obtiene:

$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }=(\cos (𝑥))(-\sin (𝑥))+(\cos (𝑥))(-\sin (𝑥))$$

Simplificando esto, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=(-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$

Curiosamente la función original es el ${\cos }^2(𝑥)$, así que esta derivada también se podría calcular por la regla de la cadena:

$$ℎ(𝑥)={\cos }^2(𝑥)\Rightarrow {ℎ}^{\prime }(𝑥)=2\cos (𝑥)(-\sin (𝑥))=-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$

Veamos otro ejemplo, usando la regla del producto para derivar dos funciones:

Deriva la siguiente función:

$$ℎ(𝑥)=\frac{1}{𝑥}·\ln (𝑥)$$

Solución

Aquí las funciones son:

$$𝑣=(\ln (𝑥))$$

$$𝑢=\frac{1}{𝑥}$$

Podemos, entonces, expresar la función inversa:

$\frac{1}{𝑥}$ como ${𝑥}^{-1}$.

Por lo cual, podemos obtener ${𝑢}^{\prime }$ y ${𝑣}^{\prime }$:

$${𝑣}^{\prime }=\frac{1}{𝑥}$$

$${𝑢}^{\prime }=\frac{-1}{{𝑥}^2}$$

Si sustituimos esto en la fórmula original$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=\frac{-1}{{𝑥}^2}\ln (𝑥)+\frac{1}{𝑥}\frac{1}{𝑥}$$

Simplificando esto, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=\frac{1}{{𝑥}^2}(1-\ln (𝑥))$$

Ahora pensemos: ¿qué pasaría si con las regla del producto se simplifican los resultados de las funciones siendo derivadas? Veamos un ejemplo.

Deriva la siguiente función:

$$ℎ(𝑥)=𝑥\ln (𝑥)$$

Solución

Aquí las funciones son:

$$𝑢=\ln (𝑥)$$

$$𝑣=𝑥$$

Por lo cual, podemos obtener ${𝑢}^{\prime }$ y ${𝑣}^{\prime }$.

$${𝑢}^{\prime }=\frac{1}{𝑥}$$

$${𝑣}^{\prime }=1$$

Si sustituimos esto en la fórmula original$$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=1·\ln (𝑥)+𝑥·\frac{1}{𝑥}$$

Simplificando esto, se obtiene:

$${ℎ}^{\prime }(𝑥)=\ln (𝑥)+1$$

Regla del producto - Puntos clave

• La regla del producto es una de las reglas de diferenciación.
• La regla del producto se puede usar cuando se diferencian los productos de dos funciones.
• Al usar la regla del producto, puedes usar la fórmula en forma de:
  • $$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$
• Y/o en forma de notación de funciones:
  • $$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥{)}^{\prime }𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥{)}^{\prime }𝑓(𝑥)$$
• También puede ser necesario diferenciar funciones trigonométricas utilizando la regla del producto.
• La fórmula de la regla del producto es:
  • $$(𝑢·𝑣{)}^{\prime }={𝑢}^{\prime }𝑣+𝑢{𝑣}^{\prime }$$

https://youtu.be/g7HdvUqJRXc?list=PLiWRH3aE37VLmz2EJjTCx-ezrylH9fFes&t=43

https://youtu.be/g7HdvUqJRXc?list=PLiWRH3aE37VLmz2EJjTCx-ezrylH9fFes&t=43

$${𝑥}^7+2{𝑥}^6+2{𝑥}^4+2{𝑥}^3+𝑥$$

$$𝑦={𝑢}^3{\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=3{𝑢}^2$$