Reglas de las derivadas

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

¿Qué es la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas?

La derivada de una función exponencial es igual a la derivada del exponente, multiplicada por la función original y por el logaritmo neperiano de la base. En la función de arriba, z es la base e y es una función de x, cuya derivada se puede calcular según lo explicado en nuestro artículo de derivada de una función.

Objetivos de aprendizaje

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.

En primer lugar, partimos de la base de que la función B(x)=bx,b>0,$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0,$ está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de bn,${𝑏}^{𝑛},$ donde n$𝑛$ es un número entero positivo, como el producto de b$𝑏$ multiplicado por sí mismo n$𝑛$ veces. Más adelante, definimos b0=1,b−n=1bn,${𝑏}^0=1,{𝑏}^{\text{−}𝑛}=\frac{1}{{𝑏}^{𝑛}},$ para un número entero positivo n,$𝑛,$ y bs/t=(b√t)s${𝑏}^{𝑠\text{/}𝑡}=(\sqrt[𝑡]{𝑏}{)}^{𝑠}$ para números enteros positivos s$𝑠$ y t.$𝑡.$ Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de br${𝑏}^{𝑟}$ donde r$𝑟$ es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de B(x)=bx,b>0,$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0,$ podemos interpretar br${𝑏}^{𝑟}$ a medida que límx→rbx$\underset{𝑥\to 𝑟}{\text{lím}}{𝑏}^{𝑥}$ donde los valores de x$𝑥$ a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver 4π$4^{𝜋}$ como el número que satisface

43<4π<44,43,1<4π<43,2,43,14<4π<43,15,43,141<4π<43,142,43,1415<4π<43,1416,….$$\begin{array}{l}{4}^3<4^{𝜋}<4^4,4^{\mathrm{3,1}}<4^{𝜋}<4^{\mathrm{3,2}},4^{\mathrm{3,14}}<4^{𝜋}<4^{\mathrm{3,15}},\\ 4^{\mathrm{3,141}}<4^{𝜋}<4^{\mathrm{3,142}},4^{\mathrm{3,1415}}<4^{𝜋}<4^{\mathrm{3,1416}}\text{,}\text{…}.\end{array}$$

Como vemos en la siguiente tabla, 4π≈77,88.$4^{𝜋}\approx \mathrm{77,88}.$

x$𝑥$	4x$4^{𝑥}$	x$𝑥$	4x$4^{𝑥}$
43$4^3$	64	43,141593$4^{\mathrm{3,141593}}$	77,8802710486
43,1$4^{\mathrm{3,1}}$	73,5166947198	43,1416$4^{\mathrm{3,1416}}$	77,8810268071
43,14$4^{\mathrm{3,14}}$	77,7084726013	43,142$4^{\mathrm{3,142}}$	77,9242251944
43,141$4^{\mathrm{3,141}}$	77,8162741237	43,15$4^{\mathrm{3,15}}$	78,7932424541
43,1415$4^{\mathrm{3,1415}}$	77,8702309526	43,2$4^{\mathrm{3,2}}$	84,4485062895
43,14159$4^{\mathrm{3,14159}}$	77,8799471543	44$4^4$	256

Tabla 3.6 Aproximación a un valor de 4π$4^{𝜋}$

También suponemos que para B(x)=bx,b>0,$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0,$ el valor B′(0)${𝐵}^{\prime }\left(0\right)$ de la derivada existe. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x)$𝐵\left(𝑥\right)$ es diferenciable en todas partes.

Hacemos una última suposición: que existe un valor único de b>0$𝑏>0$ para el cual B′(0)=1.${𝐵}^{\prime }\left(0\right)=1.$ Definimos e$𝑒$ para que sea este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos. La Figura 3.33 proporciona gráficos de las funciones y=2x,y=3x,y=2,7x,$𝑦=2^{𝑥},𝑦=3^{𝑥},𝑦={\mathrm{2,7}}^{𝑥},$ y y=2,8x.$𝑦={\mathrm{2,8}}^{𝑥}.$ Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ se denomina función exponencial natural. Su inversa, L(x)=logex=lnx$𝐿\left(𝑥\right)={\text{log}}_{𝑒}𝑥=\text{ln}𝑥$ se denomina función de logaritmo natural.

Figura 3.33 El gráfico de E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ está entre y=2x$𝑦=2^{𝑥}$ como y=3x.$𝑦=3^{𝑥}.$

Para una mejor estimación de e,$𝑒,$ podemos construir una tabla de estimaciones de B′(0)${𝐵}^{\prime }\left(0\right)$ para funciones de la forma B(x)=bx.$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥}.$ Antes de hacer esto, recuerde que

B′(0)=límx→0bx−b0x−0=límx→0bx–1x≈bx–1x$${𝐵}^{\prime }\left(0\right)=\underset{𝑥\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{𝑥}-{𝑏}^0}{𝑥-0}=\underset{𝑥\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{𝑥}–1}{𝑥}\approx \frac{{𝑏}^{𝑥}–1}{𝑥}$$

para los valores de x$𝑥$ muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x=0,00001$𝑥=\mathrm{0,00001}$ y x=−0,00001$𝑥=\mathrm{-0,00001}$ para obtener la estimación

b−0,00001−1−0,00001<B′(0)<b0,00001−10,00001.$$\frac{{𝑏}^{\mathrm{-0,00001}}-1}{\mathrm{-0,00001}}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\frac{{𝑏}^{\mathrm{0,00001}}-1}{\mathrm{0,00001}}.$$

Consulte la siguiente tabla.

b$𝑏$	b−0,00001−1−0,00001<B′(0)<b0,00001−10,00001$\frac{{𝑏}^{\mathrm{-0,00001}}-1}{\mathrm{-0,00001}}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\frac{{𝑏}^{\mathrm{0,00001}}-1}{\mathrm{0,00001}}$	b$𝑏$	b−0,00001−1−0,00001<B′(0)<b0,00001−10,00001$\frac{{𝑏}^{\mathrm{-0,00001}}-1}{\mathrm{-0,00001}}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\frac{{𝑏}^{\mathrm{0,00001}}-1}{\mathrm{0,00001}}$
2$2$	0,693145<B′(0)<0,69315$\mathrm{0,693145}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{0,69315}$	2,7183$\mathrm{2,7183}$	1,000002<B′(0)<1,000012$\mathrm{1,000002}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{1,000012}$
2,7$\mathrm{2,7}$	0,993247<B′(0)<0,993257$\mathrm{0,993247}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{0,993257}$	2,719$\mathrm{2,719}$	1,000259<B′(0)<1,000269$\mathrm{1,000259}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{1,000269}$
2,71$\mathrm{2,71}$	0,996944<B′(0)<0,996954$\mathrm{0,996944}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{0,996954}$	2,72$\mathrm{2,72}$	1,000627<B′(0)<1,000637$\mathrm{1,000627}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{1,000637}$
2,718$\mathrm{2,718}$	0,999891<B′(0)<0,999901$\mathrm{0,999891}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{0,999901}$	2,8$\mathrm{2,8}$	1,029614<B′(0)<1,029625$\mathrm{1,029614}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{1,029625}$
2,7182$\mathrm{2,7182}$	0,999965<B′(0)<0,999975$\mathrm{0,999965}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{0,999975}$	3$3$	1,098606<B′(0)<1,098618$\mathrm{1,098606}<{𝐵}^{\prime }\left(0\right)<\mathrm{1,098618}$

Tabla 3.7 Estimación de un valor de e$𝑒$

Los datos de la tabla sugieren que 2,7182<e<2,7183.$\mathrm{2,7182}<𝑒<\mathrm{2,7183}.$

El gráfico de E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ junto con la línea y=x+1$𝑦=𝑥+1$ se muestran en la Figura 3.34. Esta línea es tangente al gráfico de E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ en x=0.$𝑥=0.$

Figura 3.34 La línea tangente a E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ en x=0$𝑥=0$ tiene pendiente 1.

Ahora que hemos expuesto nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de B(x)=bx,b>0.$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0.$ Recordemos que hemos supuesto que B′(0)${𝐵}^{\prime }\left(0\right)$ existe. Aplicando la definición de límite a la derivada concluimos que

B′(0)=límh→0b0+h−b0h=límh→0bh−1h.$${𝐵}^{\prime }\left(0\right)=\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{0+ℎ}-{𝑏}^0}{ℎ}=\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{ℎ}-1}{ℎ}.$$

(3.28)

En cuanto a B′(x),${𝐵}^{\prime }\left(𝑥\right),$ obtenemos lo siguiente.

$$\begin{array}{ccccc}\hfill {𝐵}^{\prime }\left(𝑥\right)& =\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{𝑥+ℎ}-{𝑏}^{𝑥}}{ℎ}\hfill & & & \text{Aplique la definición de límite de la derivada.}\hfill \\ & =\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{𝑥}{𝑏}^{ℎ}-{𝑏}^{𝑥}}{ℎ}\hfill & & & \text{Tenga en cuenta que}{𝑏}^{𝑥+ℎ}={𝑏}^{𝑥}{𝑏}^{ℎ}.\hfill \\ & =\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{𝑥}({𝑏}^{ℎ}-1)}{ℎ}\hfill & & & \text{Factorice}{𝑏}^{𝑥}.\hfill \\ & ={𝑏}^{𝑥}\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{ℎ}-1}{ℎ}\hfill & & & \text{Aplique una propiedad de límites.}\hfill \\ & ={𝑏}^{𝑥}{𝐵}^{\prime }\left(0\right)\hfill & & & \text{Uso}{𝐵}^{\prime }\left(0\right)=\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{0+ℎ}-{𝑏}^0}{ℎ}=\underset{ℎ\to 0}{\text{lím}}\frac{{𝑏}^{ℎ}-1}{ℎ}.\hfill \end{array}$$

Vemos que sobre la base de la suposición de que B(x)=bx$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥}$ es diferenciable en 0,B(x)$0,𝐵\left(𝑥\right)$ no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es

B′(x)=bxB′(0).$${𝐵}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥}{𝐵}^{\prime }\left(0\right).$$

(3.29)

Para E(x)=ex,E′(0)=1.$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥},{𝐸}^{\prime }\left(0\right)=1.$ Por lo tanto, tenemos E′(x)=ex.${𝐸}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}.$ (El valor de B′(0)${𝐵}^{\prime }\left(0\right)$ para una función arbitraria de la forma B(x)=bx,b>0,$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0,$ se derivará más adelante.

TEOREMA 3.14

Derivada de la función exponencial natural

Supongamos que E(x)=ex$𝐸\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}$ es la función exponencial natural. Entonces

E′(x)=ex.$${𝐸}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥}.$$

En general,

ddx(eg(x))=eg(x)g′(x).$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}\left({𝑒}^{𝑔(𝑥)}\right)={𝑒}^{𝑔(𝑥)}{𝑔}^{\prime }\left(𝑥\right).$$

EJEMPLO 3.74

Derivada de una función exponencial

Calcule la derivada de f(x)=etan(2x).$𝑓\left(𝑥\right)={𝑒}^{\text{tan}(2𝑥)}.$

$$\begin{array}{cc}\hfill {}^{}& {}^{\mathrm{}}\frac{}{}\mathrm{}\hfill \\ & {}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\hfill \end{array}$$

EJEMPLO 3.75

Combinación de reglas de diferenciación

Calcule la derivada de y=ex2x.$𝑦=\frac{{𝑒}^{{𝑥}^2}}{𝑥}.$

$$\begin{array}{ccccc}\hfill {}^{}& \frac{{}^{{}^{\mathrm{}}}\mathrm{}\mathrm{}{}^{{}^{\mathrm{}}}}{{}^{\mathrm{}}}\hfill & & & \hfill \\ & \frac{{}^{{}^{\mathrm{}}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}{{}^{\mathrm{}}}\hfill & & & \hfill \end{array}$$

PUNTO DE CONTROL 3.50

Calcule la derivada de h(x)=xe2x.$ℎ\left(𝑥\right)=𝑥{𝑒}^{2𝑥}.$

EJEMPLO 3.76

Aplicación de la función exponencial natural

Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1.000. Después de t$𝑡$ días, la población está dada por A(t)=1.000e0,3t.$𝐴\left(𝑡\right)=1.000{𝑒}^{\mathrm{0,3}𝑡}.$ Demuestre que la relación de la tasa de cambio de la población, A′(t),${𝐴}^{\prime }\left(𝑡\right),$ a la población, A(t)$𝐴\left(𝑡\right)$ es constante.

${}^{}$${}^{}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}$

$${}^{}\frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}\mathrm{}$$

PUNTO DE CONTROL 3.51

Si los valores de A(t)=1.000e0,3t$𝐴\left(𝑡\right)=1.000{𝑒}^{\mathrm{0,3}𝑡}$ describe la población de mosquitos después de t$𝑡$ días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de A(t)$𝐴\left(𝑡\right)$ después de 4 días?

Derivada de la función logarítmica

Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural.

TEOREMA 3.15

La derivada de la función de logaritmo natural

Si los valores de x>0$𝑥>0$ y y=lnx,$𝑦=\text{ln}𝑥,$ entonces

dydx=1x.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{𝑥}.$$

(3.30)

De manera más general, supongamos que g(x)$𝑔\left(𝑥\right)$ es una función diferenciable. Para todos los valores de x$𝑥$ para los cuales g′(x)>0,${𝑔}^{\prime }\left(𝑥\right)>0,$ la derivada de h(x)=ln(g(x))$ℎ\left(𝑥\right)=\text{ln}\left(𝑔\left(𝑥\right)\right)$ está dada por

h′(x)=1g(x)g′(x).$${ℎ}^{\prime }\left(𝑥\right)=\frac{1}{𝑔\left(𝑥\right)}{𝑔}^{\prime }\left(𝑥\right).$$

(3.31)

Prueba

Si los valores de x>0$𝑥>0$ y y=lnx,$𝑦=\text{ln}𝑥,$ entonces ey=x.${𝑒}^{𝑦}=𝑥.$ Diferenciando ambos lados de esta ecuación se obtiene la ecuación

eydydx=1.$${𝑒}^{𝑦}\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=1.$$

Al resolver dydx$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}$ se obtiene

dydx=1ey.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{{𝑒}^{𝑦}}.$$

Por último, sustituimos x=ey$𝑥={𝑒}^{𝑦}$ para obtener

dydx=1x.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{𝑥}.$$

También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que y=g(x)=lnx$𝑦=𝑔(𝑥)=\text{ln}𝑥$ es la inversa de f(x)=ex,$𝑓\left(𝑥\right)={𝑒}^{𝑥},$ aplicando el teorema de la función inversa tenemos

dydx=1f′(g(x))=1elnx=1x.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{{𝑓}^{\prime }\left(𝑔\left(𝑥\right)\right)}=\frac{1}{{𝑒}^{\text{ln}𝑥}}=\frac{1}{𝑥}.$$

Utilizando este resultado y aplicando la regla de la cadena a h(x)=ln(g(x))$ℎ\left(𝑥\right)=\text{ln}\left(𝑔\left(𝑥\right)\right)$ se obtiene

h′(x)=1g(x)g′(x).$${ℎ}^{\prime }\left(𝑥\right)=\frac{1}{𝑔\left(𝑥\right)}{𝑔}^{\prime }\left(𝑥\right).$$

□

El gráfico de y=lnx$𝑦=\text{ln}𝑥$ y su derivada dydx=1x$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{𝑥}$ se muestran en la Figura 3.35.

Figura 3.35 La funcióny=lnx$\text{La función}𝑦=\text{ln}𝑥$ es creciente en (0,+∞).$(0,\text{+}\infty ).$ Su derivada y'=1x$𝑦\prime =\frac{1}{𝑥}$ es mayor que cero en (0,+∞).$(0,\text{+}\infty ).$

EJEMPLO 3.77

Tomar la derivada de un logaritmo natural

Calcule la derivada de f(x)=ln(x3+3x−4).$𝑓\left(𝑥\right)=\text{ln}\left({𝑥}^3+3𝑥-4\right).$

$$\begin{array}{ccccc}\hfill {}^{}& \frac{\mathrm{}}{{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\hfill & & & {}^{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}{}^{}\frac{\mathrm{}}{}{}^{}\hfill \\ & \frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}{{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}}\hfill & & & \hfill \end{array}$$

EJEMPLO 3.78

Uso de las propiedades de los logaritmos en una derivada

Calcule la derivada de f(x)=ln(x2senx2x+1).$𝑓\left(𝑥\right)=\text{ln}\left(\frac{{𝑥}^2\text{sen}𝑥}{2𝑥+1}\right).$

$$\begin{array}{cccccc}\hfill & \hfill & \frac{{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill {}^{}& \hfill & \frac{\mathrm{}}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}}\hfill & & & {}^{}\frac{\mathrm{}}{}{}^{}\hfill \end{array}$$

PUNTO DE CONTROL 3.52

Diferencie: f(x)=ln(3x+2)5.$𝑓\left(𝑥\right)=\text{ln}{\left(3𝑥+2\right)}^5.$

Ahora que podemos diferenciar la función de logaritmo natural, podemos utilizar este resultado para calcular las derivadas de y=logbx$𝑦=𝑙𝑜{𝑔}_{𝑏}𝑥$ como y=bx$𝑦={𝑏}^{𝑥}$ para b>0,b≠1.$𝑏>0,𝑏\ne 1.$

TEOREMA 3.16

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales

Supongamos que b>0,b≠1,$𝑏>0,𝑏\ne 1,$ y supongamos que g(x)$𝑔\left(𝑥\right)$ es una función diferenciable.

1. Si, y=logbx,$𝑦={\text{log}}_{𝑏}𝑥,$ entonces
   
   dydx=1xlnb.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{𝑥\text{ln}𝑏}.$$

   (3.32)
   
   De forma más general, si h(x)=logb(g(x)),$ℎ\left(𝑥\right)={\text{log}}_{𝑏}\left(𝑔\left(𝑥\right)\right),$ entonces para todos los valores de x para los que g(x)>0,$𝑔\left(𝑥\right)>0,$
   
   h′(x)=g′(x)g(x)lnb.$${ℎ}^{\prime }\left(𝑥\right)=\frac{{𝑔}^{\prime }\left(𝑥\right)}{𝑔\left(𝑥\right)\text{ln}𝑏}.$$

   (3.33)
2. Si y=bx,$𝑦={𝑏}^{𝑥},$ entonces
   
   dydx=bxlnb.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}={𝑏}^{𝑥}\text{ln}𝑏.$$

   (3.34)
   
   De forma más general, si h(x)=bg(x),$ℎ\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑔(𝑥)},$ entonces
   
   h′(x)=bg(x)g'(x)lnb.$${ℎ}^{\prime }\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑔(𝑥)}𝑔\text{′}\left(𝑥\right)\text{ln}𝑏.$$

   (3.35)

Prueba

Si los valores de y=logbx,$𝑦={\text{log}}_{𝑏}𝑥,$ entonces by=x.${𝑏}^{𝑦}=𝑥.$ Se deduce que ln(by)=lnx.$\text{ln}\left({𝑏}^{𝑦}\right)=\text{ln}𝑥.$ Así que ylnb=lnx.$𝑦\text{ln}𝑏=\text{ln}𝑥.$ Al resolver y,$𝑦,$ tenemos y=lnxlnb.$𝑦=\frac{\text{ln}𝑥}{\text{ln}𝑏}.$ Diferenciando y teniendo en cuenta que lnb$\text{ln}𝑏$ es una constante, vemos que

dydx=1xlnb.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{1}{𝑥\text{ln}𝑏}.$$

La derivada en la Ecuación 3.33 se deduce ahora de la regla de la cadena.

Si los valores de y=bx,$𝑦={𝑏}^{𝑥},$ entonces lny=xlnb.$\text{ln}𝑦=𝑥\text{ln}𝑏.$ Utilizando la diferenciación implícita, de nuevo teniendo en cuenta que lnb$\text{ln}𝑏$ es constante, se deduce que 1ydydx=lnb.$\frac{1}{𝑦}\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\text{ln}𝑏.$ Al resolver dydx$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}$ y sustituyendo y=bx,$𝑦={𝑏}^{𝑥},$ vemos que

dydx=ylnb=bxlnb.$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=𝑦\text{ln}𝑏={𝑏}^{𝑥}\text{ln}𝑏.$$

La derivada más general (Ecuación 3.35) se desprende de la regla de la cadena.

□

EJEMPLO 3.79

Aplicación de fórmulas de derivación

Calcule la derivada de h(x)=3x3x+2.$ℎ\left(𝑥\right)=\frac{3^{𝑥}}{3^{𝑥}+2}.$

$$\begin{array}{ccccc}\hfill {}^{}& \frac{{\mathrm{}}^{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{}}{{{\mathrm{}}^{}\mathrm{}}^{\mathrm{}}}\hfill & & & \hfill \\ & \frac{\mathrm{}{\mathrm{}}^{}\mathrm{}}{{{\mathrm{}}^{}\mathrm{}}^{\mathrm{}}}\hfill & & & \hfill \end{array}$$

EJEMPLO 3.80

Cálculo de la pendiente de una línea tangente

Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de y=log2(3x+1)$𝑦={\text{log}}_2\left(3𝑥+1\right)$ en x=1.$𝑥=1.$

$\frac{}{}$$\mathrm{}$

$$\frac{}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}}$$

$\mathrm{}$

$$\frac{}{}\begin{array}{l}\\ {}_{\mathrm{}}\end{array}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}$$

PUNTO DE CONTROL 3.53

Calcule la pendiente de la línea tangente a y=3x$𝑦=3^{𝑥}$ en x=2.$𝑥=2.$

Diferenciación logarítmica

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma y=(g(x))n$𝑦={\left(𝑔\left(𝑥\right)\right)}^{𝑛}$ para determinados valores de n,$𝑛,$ así como funciones de la forma y=bg(x),$𝑦={𝑏}^{𝑔(𝑥)},$ donde b>0$𝑏>0$ y b≠1.$𝑏\ne 1.$ Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como y=xx$𝑦={𝑥}^{𝑥}$ o y=xπ.$𝑦={𝑥}^{𝜋}.$ Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma h(x)=g(x)f(x).$ℎ\left(𝑥\right)=𝑔{\left(𝑥\right)}^{𝑓(𝑥)}.$ También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de y=x2x+1√exsen3x.$𝑦=\frac{𝑥\sqrt{2𝑥+1}}{{𝑒}^{𝑥}{\text{sen}}^3𝑥}.$ Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la diferenciación logarítmica

1. Para diferenciar y=h(x)$𝑦=ℎ\left(𝑥\right)$ utilizando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener lny=ln(h(x)).$\text{ln}𝑦=\text{ln}\left(ℎ\left(𝑥\right)\right).$
2. Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln(h(x))$\text{ln}\left(ℎ\left(𝑥\right)\right)$ tanto como sea posible.
3. Diferencie ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos 1ydydx.$\frac{1}{𝑦}\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}.$
4. Multiplique ambos lados de la ecuación por y$𝑦$ para resolver dydx.$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}.$
5. Sustituya y$𝑦$ por h(x).$ℎ\left(𝑥\right).$

EJEMPLO 3.81

Uso de la diferenciación logarítmica

Calcule la derivada de y=(2x4+1)tanx.$𝑦={\left(2{𝑥}^4+1\right)}^{\text{tan}𝑥}.$

$$\begin{array}{cccccc}\hfill & \hfill & {\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}^{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill & \hfill & \mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{\mathrm{}}{}\frac{}{}& \hfill & {}^{\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}\hfill & & & \begin{array}{c}\hfill \\ \hfill \end{array}\hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & {}^{\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & {\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}^{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}\frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}\hfill & & & {\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}}^{}\hfill \end{array}$$

EJEMPLO 3.82

Uso de la diferenciación logarítmica

Calcule la derivada de y=x2x+1√exsen3x.$𝑦=\frac{𝑥\sqrt{2𝑥+1}}{{𝑒}^{𝑥}{\text{sen}}^3𝑥}.$

$$\begin{array}{cccccc}\hfill & \hfill & \frac{\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}}{{}^{}{}^{\mathrm{}}}\hfill & & & \hfill \\ \hfill & \hfill & \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{\mathrm{}}{}\frac{}{}& \hfill & \frac{\mathrm{}}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\frac{}{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & \frac{\mathrm{}}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & \frac{\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}}{{}^{}{}^{\mathrm{}}}\frac{\mathrm{}}{}\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}}\mathrm{}\mathrm{}\hfill & & & \frac{\sqrt{\mathrm{}\mathrm{}}}{{}^{}{}^{\mathrm{}}}\hfill \end{array}$$

EJEMPLO 3.83

Ampliación de la regla de la potencia

Calcule la derivada de y=xr$𝑦={𝑥}^{𝑟}$ donde r$𝑟$ es un número real arbitrario.

$$\begin{array}{cccccc}\hfill & \hfill & {}^{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{\mathrm{}}{}\frac{}{}& \hfill & \frac{\mathrm{}}{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & \frac{}{}\hfill & & & \hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & {}^{}\frac{}{}\hfill & & & {}^{}\hfill \\ \hfill \frac{}{}& \hfill & {}^{\mathrm{}}\hfill & & & \hfill \end{array}$$

PUNTO DE CONTROL 3.54

Utilice la diferenciación logarítmica para calcular la derivada de y=xx.$𝑦={𝑥}^{𝑥}.$

PUNTO DE CONTROL 3.55

Calcule la derivada de y=(tanx)π.$𝑦={\left(\text{tan}𝑥\right)}^{𝜋}.$

Sección 3.9 ejercicios

En los siguientes ejercicios, calcule f′(x)${𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)$ por cada función.

331.

f(x)=x2ex$𝑓\left(𝑥\right)={𝑥}^2{𝑒}^{𝑥}$

332.

f(x)=e–xx$𝑓\left(𝑥\right)=\frac{{𝑒}^{\text{–}𝑥}}{𝑥}$

333.

f(x)=ex3lnx$𝑓\left(𝑥\right)={𝑒}^{{𝑥}^3\text{ln}𝑥}$

334.

f(x)=e2x+2x−−−−−−−√$𝑓\left(𝑥\right)=\sqrt{{𝑒}^{2𝑥}+2𝑥}$

335.

f(x)=ex−e–xex+e–x$𝑓\left(𝑥\right)=\frac{{𝑒}^{𝑥}-{𝑒}^{\text{–}𝑥}}{{𝑒}^{𝑥}+{𝑒}^{\text{–}𝑥}}$

336.

f(x)=10xln10$𝑓\left(𝑥\right)=\frac{{10}^{𝑥}}{\text{ln}10}$

337.

f(x)=24x+4x2$𝑓\left(𝑥\right)=2^{4𝑥}+4{𝑥}^2$

338.

f(x)=3sen3x$𝑓\left(𝑥\right)=3^{\text{sen}3\text{x}}$

339.

f(x)=xπ.πx$𝑓\left(𝑥\right)={𝑥}^{𝜋}.{𝜋}^{𝑥}$

340.

f(x)=ln(4x3+x)$𝑓\left(𝑥\right)=\text{ln}\left(4{𝑥}^3+𝑥\right)$ grandes.

341.

f(x)=ln5x−7−−−−−√$𝑓\left(𝑥\right)=\text{ln}\sqrt{5𝑥-7}$

342.

f(x)=x2ln9x$𝑓\left(𝑥\right)={𝑥}^2\text{ln}9𝑥$

343.

f(x)=log(secx)$𝑓\left(𝑥\right)=\text{log}\left(\text{sec}𝑥\right)$ grandes.

344.

f(x)=log7(6x4+3)5$𝑓\left(𝑥\right)={\text{log}}_7{\left(6{𝑥}^4+3\right)}^5$

345.

f(x)=2x.log37x2−4$𝑓\left(𝑥\right)=2^{𝑥}.{\text{log}}_3{7}^{{𝑥}^2-4}$

En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación logarítmica para calcular dydx.$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}.$

346.

y=xx√$𝑦={𝑥}^{\sqrt{𝑥}}$

347.

y=(sen2x)4x$𝑦={\left(\text{sen}2𝑥\right)}^{4𝑥}$

348.

y=(lnx)lnx$𝑦={\left(\text{ln}𝑥\right)}^{\text{ln}𝑥}$

349.

y=xlog2x$𝑦={𝑥}^{{\text{log}}_2𝑥}$

350.

y=(x2–1)lnx$𝑦={\left({𝑥}^2–1\right)}^{\text{ln}𝑥}$

351.

y=xcotx$𝑦={𝑥}^{\text{cot}𝑥}$

352.

y=x+11x2−4√3$𝑦=\frac{𝑥+11}{\sqrt[3]{{𝑥}^2-4}}$

353.

y=x−1/2(x2+3)2/3(3x−4)4$𝑦={𝑥}^{\mathrm{-1}\text{/}2}{\left({𝑥}^2+3\right)}^{2\text{/}3}{\left(3𝑥-4\right)}^4$

354.

[T] Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f(x)=4xe(x2–1)$𝑓\left(𝑥\right)=4𝑥{𝑒}^{\left({𝑥}^2–1\right)}$ en el punto donde

x=−1.$𝑥=\mathrm{-1}.$ Grafique la función y la línea tangente.

355.

[T] Halle la ecuación de la línea que es normal al gráfico de f(x)=x.5x$𝑓\left(𝑥\right)=𝑥.5^{𝑥}$ en el punto donde x=1.$𝑥=1.$ Grafique tanto la función como la línea normal.

356.

[T] Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de x3−xlny+y3=2x+5${𝑥}^3-𝑥\text{ln}𝑦+{𝑦}^3=2𝑥+5$ en el punto (2, 1). (Pista: Utilice la diferenciación implícita para calcular dydx.)$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}.)$ Grafique tanto la curva como la línea tangente.

357.

Considere la función y=x1/x$𝑦={𝑥}^{1\text{/}𝑥}$ para x>0.$𝑥>0.$

1. Determine los puntos del gráfico donde la línea tangente es horizontal.
2. Determine los puntos del gráfico en los que y′>0${𝑦}^{\prime }>0$ y aquellos en los que y′<0.${𝑦}^{\prime }<0.$

358.

La fórmula I(t)=sentet$𝐼\left(𝑡\right)=\frac{\text{sen}𝑡}{{𝑒}^{𝑡}}$ es la fórmula de una corriente alterna decreciente.

1. Complete la siguiente tabla con los valores adecuados.
   

   t$𝑡$	sent$\frac{\text{sen}𝑡}{{𝑒}^{𝑡}}$
   0	(i)
   π2$\frac{𝜋}{2}$	(ii)
   π$𝜋$	(iii)
   3π2$\frac{3𝜋}{2}$	(iv)
   2π$2𝜋$	(v)
   5π2$\frac{5𝜋}{2}$	(vi)
   3π$3𝜋$	(vii)
   7π2$\frac{7𝜋}{2}$	(viii)
   4π$4𝜋$	(ix)

2. Utilizando solo los valores de la tabla, determine dónde la línea tangente al gráfico de I(t)$𝐼\left(𝑡\right)$ es horizontal.

359.

[T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era de aproximadamente 500.000 habitantes. Supongamos que la población aumenta a un ritmo del 5 % anual.

1. Escriba la función exponencial que relaciona la población total en función de t.$𝑡.$
2. Utilice a. para determinar la tasa de aumento de la población en t$𝑡$ años.
3. Utilice b. para determinar la tasa de aumento de la población en 10 años.

360.

[T] Un isótopo del elemento erbio tiene una semivida de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente.

1. Escriba la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de t,$𝑡,$ medido en horas.
2. Utilice a. para determinar la tasa de decaimiento de la sustancia en t$𝑡$ horas.
3. Utilice b. para determinar la tasa de decaimiento en t=4$𝑡=4$ horas.

361.

[T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1961 se modela mediante la función

N(t)=5,3e0,093t2−0,87t,(0≤t≤4),$𝑁\left(𝑡\right)=\mathrm{5,3}{𝑒}^{\mathrm{0,093}{𝑡}^2-\mathrm{0,87}𝑡},(0\le 𝑡\le 4),$ donde N(t)$𝑁\left(𝑡\right)$ indica el número de casos (en miles) y t se mide en años, con t=0$𝑡=0$ correspondiente a principios de 1960.

1. Muestre el trabajo que evalúa N(0)$𝑁\left(0\right)$ y N(4).$𝑁\left(4\right).$ Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.
2. Muestre el trabajo que evalúa N′(0)${𝑁}^{\prime }\left(0\right)$ y N′(3).${𝑁}^{\prime }\left(3\right).$ Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.

362.

[T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable y=f(x)$𝑦=𝑓\left(𝑥\right)$ está dada por 100.f′(x)f(x) %.$\frac{100.{𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)}{𝑓\left(𝑥\right)}\text{ \%}.$ Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por P(x)=ae−b.e−cx$𝑃\left(𝑥\right)=𝑎{𝑒}^{\text{−}𝑏.{𝑒}^{\text{−}𝑐𝑥}}$ donde a,b,$𝑎,𝑏,$ y c$𝑐$ son constantes.

1. Halle la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz.
2. Utilice a. para calcular la tasa de cambio relativa de una población en x=20$𝑥=20$ meses cuando a=204,b=0,0198,$𝑎=204,𝑏=\mathrm{0,0198},$ y c=0,15.$𝑐=\mathrm{0,15}.$
3. Interprete brevemente lo que significa el resultado de b.

En los siguientes ejercicios, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, que se da en la siguiente tabla.

Años desde 1790	Población
0	33.131
10	60.515
20	96.373
30	123.706
40	202.300
50	312.710
60	515.547
70	813.669

Tabla 3.8 La población de Nueva York a lo largo del tiempo Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_cities_in_the_United_States
_by_population_by_decade.

363.

[T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora, ajuste una curva de crecimiento a los datos de la forma p=abt.$𝑝=𝑎{𝑏}^{𝑡}.$

364.

[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.

365.

[T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año.

366.

[T] Utilizando las tablas de primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responda a las siguientes preguntas:

1. ¿Será exacto el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no?
2. Estime la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.?
3. https://youtu.be/MxDd9r-iT94
4. https://www.youtube.com/watch?v=-ERPBH3KAPY
5. https://youtu.be/-ERPBH3KAPY?si=z1hpyXIOCTDqAXpg
6.