Problemas de valor inicial ED

Que son las derivadas implicitas: En la derivación implícita, diferenciamos cada lado de la ecuación con dos variables (usualmente ‍ y ‍ ) al tratar una de la variables como una función de la otra. Esto llama al uso de la regla de la cadena. Por ejemplo, derivemos x 2 + y 2 = 1 ‍ . En este caso, tratamos la variable ‍ como una función de

¿Cómo realizo la derivación implícita?

En la derivación implícita, diferenciamos cada lado de la ecuación con dos variables (usualmente $$\[x\] y $$\[y\]) al tratar una de la variables como una función de la otra. Esto llama al uso de la regla de la cadena.

Por ejemplo, derivemos ${}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}$\[x^2+y^2=1\]. En este caso, tratamos la variable $$\[y\] como una función de $$\[x\].

$\begin{array}{rl}{}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}& \mathrm{}\\ \\ {\displaystyle \frac{}{}}{}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}& {\displaystyle \frac{}{}}\mathrm{}\\ \\ {\displaystyle \frac{}{}}{}^{\mathrm{}}{\displaystyle \frac{}{}}{}^{\mathrm{}}& \mathrm{}\\ \\ \mathrm{}\mathrm{}{\displaystyle \frac{}{}}& \mathrm{}\\ \\ \mathrm{}{\displaystyle \frac{}{}}& \mathrm{}\\ \\ {\displaystyle \frac{}{}}& {\displaystyle \frac{}{}}\end{array}$\[\begin{aligned}
x^2+y^2&=1
\\\\
\dfrac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\dfrac{d}{dx}(1)
\\\\
\dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(y^2)&=0
\\\\
2x+2y\cdot\dfrac{dy}{dx}&=0
\\\\
2y\cdot\dfrac{dy}{dx}&=-2x
\\\\
\dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{x}{y}
\end{aligned}\]

Observa que la derivada de ${}^{\mathrm{}}$\[y^2\] es $\mathrm{}{\displaystyle \frac{}{}}$\[2y\cdot\dfrac{dy}{dx}\] y no simplemente $\mathrm{}$\[2y\]. Esto es porque tratamos $$\[y\] como una función de $$\[x\].

¿Quieres una explicación más profunda de la derivación implícita? Revisa este video.

Comprueba tu comprensión

Problema 1

${}^{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}\mathrm{}$\[x^2+xy+y^3=0\]

${\displaystyle \frac{}{}}$\[\dfrac{dy}{dx}=?\]

Escoge 1 respuesta:

Escoge 1 respuesta:

• (Elección A)   

  ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}}$\[-\dfrac{2x}{1+3y^2}\]
• (Elección B)   

  ${\displaystyle \frac{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}{\mathrm{}}}$\[-\dfrac{x+3y^2}{2x+y}\]
• (Elección C)   

  ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}}$\[-\dfrac{2x+y}{x+3y^2}\]
• (Elección D)   

  ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}{}^{\mathrm{}}}}$\[-\dfrac{2x}{x+3y^2}\]

https://youtu.be/RAzsJFsIzzQ

https://youtu.be/RAzsJFsIzzQ?t=3

Para abordar el tema vamos a trabajar con funciones implícitas. Una función implícita es una función de dos variables, como las conocemos hasta ahora, pero en la cual, la variable (y) no está despejada. Podríamos intentar despejarla, pero no siempre es posible que quede como las has utilizado en los temas anteriores, es decir, y = f(x). En la Geometría Analítica se da la ecuación de una curva de la forma F(x,y) = 0. Si recuerdas una recta se representa en esos textos con la ecuación ax + by + c = 0 y una elipse se representa con la ecuación.

Para obtener la ecuación de la curva en la forma y = f(x) se debía resolver la ecuación F(x,y) = 0 para (y). Estas curvas son casos sencillos en los cuales puede hallarse fácilmente la solución en términos de funciones básicas. En otros casos puede hallarse la aproximación de la solución tan exacta como se necesite. A veces, dependiendo de la aplicación, se prefiere no trabajar con la forma resuelta de la ecuación, ni hacer aproximaciones, sino simplemente sacar conclusiones acerca de la solución, estudiando directamente la función F(x,y) en donde no se le da preferencia a ninguna de las variables (x) o (y).

Las funciones implícitas se pueden derivar, sin necesidad de despejar la variable (y). Con atención y práctica, verás que es sencillo trabajar con derivación implícita.

¿Cómo será la gráfica de una función implícita?

Espero que la sesión sea de tu agrado y te invito a proseguir con tu mismo ánimo.

Desarrollo del tema

Es importante recordar que la función implícita es una relación entre (x) y (y) mediante una ecuación, donde no aparece despejada ninguna de las dos variables. Es decir, no hay una evidencia clara de cuál es la variable dependiente, como por ejemplo en la ecuación y2-16x = 0. La variable (y) está definida como función implícita de (x), aunque (x) también está definida como función implícita de (y).

A veces se puede explicitar alguna de las variables, sin embargo, puede suceder que tal proceso sea imposible o muy complicado de hacer. 

Vamos a aprender el procedimiento para derivar funciones implícitas con el primer método de derivación propuesto:

1. Se deriva la ecuación, término por término, considerando a (y) como función de (x).
2. Se simplifica la expresión y se agrupan los términos que contienen a dy / dx en un lado del signo igual.
3. Del otro lado quedan el resto de los términos y los que contienen dx / dx, pero dx / dx =1.
4. Se espeja dy / dx.

Ejemplos:

Ahora practica el procedimiento con las siguientes funciones:

Ejercicios: Obtener la derivada implícita de las siguientes funciones desarrollando el procedimiento y anotando el resultado.

Vamos ahora a ver el segundo método, que es sencillo para derivar funciones implícitas. En este caso sólo vamos a aplicar la siguiente fórmula:

El símbolo ∂f / ∂x significa que se va a derivar parcialmente una función f con respecto a (x). esto quiere decir que (y) permanece constante (se trabaja como una constante).

De la misma manera ∂f / ∂y significa que se va a derivar parcialmente una función f con respecto a (y). esto quiere decir que (x) permanece constante (se trabaja como una constante).

Al resolver y aplicar la fórmula, el signo “menos” puede meterse en el numerador o denominador. En este tema lo vamos a meter en el numerador.

Ejemplos:

Ahora practica el segundo método con las siguientes funciones:

Ejercicios: Obtener la derivada implícita de las siguientes funciones desarrollando el procedimiento y anotando el resultado.

Conclusión

En Conclusión, ahora ya sabemos que las expresiones matemáticas se pueden presentar como funciones implícitas o funciones explícitas. Las funciones implícitas se pueden derivar de forma implícita por medio de dos métodos. 

En el primer método se deriva la expresión f(x,y) = 0 aplicando los teoremas básicos de la derivada tanto para (x) como para (y). Cuando de deriva para (x), el resultado se multiplica por el diferencial dx / dx. Cuando se deriva un término con (y), el resultado se multiplica por dy / dx. Se simplifica y agrupa por tipo de diferencial, pero dx / dx = 1. Finalmente se despeja dy / dx que expresa el resultado de la primera derivada.

Para derivar de forma implícita una función, también se puede aplicar la fórmula dada, que es un cociente negativo de dos derivadas parciales con respecto a (x) en el numerador y respecto a (y) en el denominador. El signo negativo de la fórmula se aplica normalmente en el numerador. 

Estos dos métodos son sencillos de utilizar para el cálculo de derivadas implícitas, solo se debe tener cuidado con aplicar el signo correctamente, así como el álgebra y los teoremas básicos de derivadas. Es necesario practicar resolviendo más problemas de derivadas, de las referencias dadas en cada tema, para adquirir habilidad y agilidad para dominar la resolución de derivadas implícitas. 

Hemos llegado al final de la clase ¡Te felicito por tu logro! Para completar la sesión te pido que realices la tarea asignada. Sigue avanzando en tu curso, falta poco para que logres completarlo. Te espero en la siguiente clase, hasta luego.

https://youtu.be/u0BP7ZMRsms?t=6