Un punto máximo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor máximo posible. De forma similar, un punto mínimo absoluto es un punto en el que la función adquiere su valor mínimo posible.

Máximos y mínimos de una función

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Dibujo del máximo y el mínimo de una función.

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximos y mínimos absolutos

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

  • El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
    Dibujo del máximo absoluto de una función.
  • El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.
    Dibujo del mínimo absoluto de una función.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Máximos y mínimos relativos

Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.

  • La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
    Dibujo del máximo relativo de una función.

    En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si:

    Fórmula del máximo relativo de una función.

    También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.

  • La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
    Dibujo del mínimo relativo de una función.

    En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si:

    Fórmula del mínimo relativo de una función.

    También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.

Teorema de los valores extremos

Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo.

No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto.

Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente:

  1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
  2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0.
    Fórmula de las raíces de la derivada de la función.

    Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}.

  3. Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r1) ,  f(r2) ,…, f(rn) ).
  4. El máximo y mínimo absolutos de f serán:
    Fórmula del máximo y mínimo absolutos por el teorema de los valores extremos.

Ejemplo

Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Ejemplo de función para el teorema de los extremos.
Dibujo de la gráfica de una función para el teorema de los extremos.

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos.

  1. Derivamos la función, obteniendo:
    Derivada de la función para el teorema de los extremos.
  2. Hallamos las raíces de la derivada:
    Raíces de la derivada de la función para el teorema de los extremos.
  3. Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:
    Imágenes de las raíces de la derivada de la función para el teorema de los extremos.
  4. Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:
    Máximo y mínimo absolutos de la función para el teorema de los extremos.

    Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los que el valor de la derivada es nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado: máximo absoluto en el punto (5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5).






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