Hernando Pérez

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Dibujo del máximo y el mínimo de una función.

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximos y mínimos absolutos

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Máximos y mínimos relativos

Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.

La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si:
También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.
La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si:
También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.

Teorema de los valores extremos

Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo.

No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto.

Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente:

Derivar la función, obteniendo f ’(x).
Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0.
Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}.
Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r1) , f(r2) ,…, f(rn) ).
El máximo y mínimo absolutos de f serán:

Ejemplo

Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Dibujo de la gráfica de una función para el teorema de los extremos.

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos.

Derivamos la función, obteniendo:
Hallamos las raíces de la derivada:
Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:
Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:
Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los que el valor de la derivada es nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado: máximo absoluto en el punto (5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5).