Solución de una Ecuación Diferencial

 Hernando Pérez Aguilar

Solución de una Ecuación Diferencial

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que explican cualquier función con sus derivadas. Estas ecuaciones a menudo se usan para describir la forma en que las cosas cambian con el tiempo, ayudándonos a hacer predicciones y tener en cuenta tanto las condiciones iniciales como la evolución de las variables. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para describir todo tipo de sucesos naturales, pero a veces pueden ser difíciles de resolver. En matemática pura, estudiamos ecuaciones diferenciales desde múltiples perspectivas, y para ecuaciones más complejas, usamos el poder del procesamiento por computadora para aproximar una solución. Las ecuaciones diferenciales incluyen muchos tipos: ecuaciones lineales versus ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales ordinarias versus ecuaciones diferenciales parciales y, por último, ecuaciones homogéneas versus ecuaciones no homogéneas. Las soluciones generales o la exploración dependen de descifrar el tipo de ecuación en cuestión.

1 Ecuaciones diferenciales La solución a una ecuación algebraica es un número, o un conjunto de números que satisfacen la ecuación. Por ejemplo las soluciones de

 x 2 − 4x + 3 = 0 son x0 = 1 y x1 = 3.

 Las soluciones de una ecuación diferencial, serán funciones. Por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función que junto con sus derivadas satisfagan la ecuación dada. Por ejemplo, soluciones de la ecuación diferencial y 0 (t) = dy/dt = 2 

(1) son las funciones y(t) = 2t, y(t) = 1 + 2t, y(t) = a + 2t, donde a en una constante arbitraria. Note que esta ´ultima solución es la mas general que podemos escribir. La solución mas general de la ecuación diferencial

 y 00(t) = d 2 y/dt2 = 4 

(2) es la función y(t) = a + bt + 2t 2 , donde a, b son constantes arbitrarias. Note que si damos valores a a y a b obtendremos soluciones particulares de la ecuación diferencial. La solución mas general de la ecuación diferencial y 00(t) = y 0 (t) 

(3) es la función y(t) = a + bet , donde a, b son constantes arbitrarias. Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales son 

y(t)y 0 (t) = t (4) (y 00(t))3 + y 00(t)(y 0 (t) 4 − t 7 y(t) = sen(t) (5) 

Ejercicio 1 Verificar que las soluciones satisfacen las ecuaciones dadas. 

1 Una solución a una ecuación diferencial es una función que junto con sus derivadas, satisfacen la ecuación diferencial. La solución general de una ecuación diferencial es una solución conteniendo constantes arbitrarias. Cuando se especifica el valor de estas constantes se dice que es una solución particular. Así la solución general a la ecuación diferencial (3) es y(t) = a+bet mientras que y(t) = e t , y(t) = 2 − 3e t son soluciones particulares. Nosotros estaremos interesados en encontrar soluciones particulares de las ecuaciones diferencial que pasen por un punto dado. En general necesitaremos determinar el valor de las constantes arbitrarias, para esto necesitaremos el valor de la solución en un punto, o en varios puntos (esto será dado como dato y recibe el nombre de condición inicial). Por ejemplo, si y(0) = A fuera la condición inicial debemos evaluar la solución general y(t) en t = 0 y resolver la ecuación algebraica. 

Las ecuaciones diferenciales son clasificadas en términos de la derivada de mayor orden. Esto es lo que se denomina orden de la ecuación diferencial. Las ecuaciones (1), (4) son de primer orden y las ecuaciones (2),(3),(5) son de segundo orden. Una ecuación diferencial se dice lineal si la función desconocida (en los casos anteriores y(t)) y sus derivadas que aparecen el la ecuación diferencial están elevadas a la potencia primera. En otro caso se dice que la ecuación es no lineal. 

Ejercicio 2 Clasificar las ecuaciones anteriores en lineales y no lineales.

1.1 Variables Separables Hay varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales. Uno de ellos se conoce por el método de variables separables. Este método resuelve ecuaciones del tipo  g(y)y 0 (t) = f(t) 

(donde f e y dependen solamente de t y g de y). Así la ecuación anterior se puede reescribir como g(y)dy = f(t)dt. 

Las variables están separadas y la solución general es Z g(y)dy = Z f(t)dt + c

donde c es una constante arbitraria (también se la llama constante de integración). 

Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial y  0 = dy/dt = 2t 2

Solución. La ecuación puede ser expresada como  dy = 2t 2 dt 

Ya que el lado izquierdo solo depende de y y el lado derecho solo de t, las variables han sido separadas. Integrando nos da la solución general  y(t) = 2t 3 /3 + c.

 Ejemplo 2 Resolver la ecuación diferencial y 0 = aty 

Solución. La ecuación puede ser reordenada como 1 y dy = at dt 

Ya que el lado izquierdo solo depende de y y el lado derecho solo de t, las variables han sido separadas. Integrando nos da log y = at2 /2 + c, 

de aquí nos queda que la solución general es y(t) = e at2/2 +c .

 1.2 Diferenciales exactas Una ecuación diferencial f(t, y) + g(t, y)y 0 (t) = 0 o, equivalentemente f(t, y) dt + g(t, y)dy = 0 3 

se dice exacta si existe una función U(t, y) tal que dU ≡ Utdt + Uydy ≡ f dt + gdy 

Así, la ecuación diferencial es exacta sí es precisamente la diferencial total de alguna función. La ecuación diferencial exacta dU = 0 tiene un solución inmediata U(t, y) = c. Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial t 2 y 0 + 2ty = 0 

Solución. La ecuación puede ser escrita como t 2 dy + 2ty = 0 

la cual es equivalente a d(t 2 y) = 0 

(porque si diferenciamos esta igualdad nos queda la ecuación anterior). 

Integrando nos da t 2 y = c 

por lo tanto la solución general al problema es y(t) = c/t2 

Ejercicio 3 Resolver yy' = t 2 

1.3 Ecuaciones de primer orden lineales 

1.3.1 Coeficientes constantes 

Una ecuación diferencial de primer orden lineal tiene la forma y 0 (t) + P (t) y(t) = Q (t) 

 La solución general de esta ecuación consistirá en la suma de dos términos uno de los cuales se llama función complementaria (y se denota por yc (t)) y la otra como integral particular (yp (t))

La función complementaria es la solución de la ecuación y 0 (t) + P (t) y(t) = 0

esto se conoce como la ecuación homogénea de (6). Haciendo algunos pasos algebraicos esta ecuación se transforma en y 0 (t) = −P (t) y(t) 

o equivalentemente y 0 (t) y (t) = −P (t) 

integrando y despejando y (t), nos queda que la función complementaria es y(t) = Ae R −P(t)dt 

donde A es una constante. La integral particular dependerá de la función Q (t). Para calcular la integral particular se propone alguna función para y (t) y se resuelve la ecuación (6). Daremos algunos ejemplos para aclarar esto. 

Ejemplo 4 (Coeficientes constantes, esto es P (t) = P y Q (t)=Q) 

Resolver la ecuación y 0 (t) + P y(t) = Q 

 Solución. 1. Cálculo de la función complementaria. La ecuación diferencial homogénea asociada a (7) es y 0 (t) + P y(t) = 0 

entonces y 0 (t) y(t) = −P 

integrando y despejando y(t) nos queda que yc (t) = Ae−P t 

2. Integral particular. Proponemos como una solución particular de la ecuación diferencial (7) a y (t) = B (esto es que la función es constante). Reemplazando en la ecuación (7) nos queda que P B = Q 

es decir que yp (t) = Q P 

3. Solución general. Ya que la solución general de la ecuación diferencial (7) es la suma de la función complementaria y la integral particular, tenemos que y (t) = yc (t) + yp (t) = Ae−P t + Q P

Ejemplo 5 Resolver la ecuación diferencial y 0 (t) + P y(t) = QeRt . 

Solución. 1. Cálculo de la función complementaria. La ecuación diferencial homogéneo asociada a (8) es y 0 (t) + P y(t) = 0 

entonces la función complementaria nos queda que yc (t) = Ae−P t 

2. Integral particular. Proponemos como una solución particular de la ecuación diferencial (8) a y (t) = B. Reemplazando en la ecuación (8) nos queda que P B = QeRt ∀t

 la cual no es verdadera (ya que como en el caso anterior B es una constante). Propondremos a y (t) = BeCt entonces y 0 (t) = BCeCt . Reemplazando en la ecuación (8) nos queda que e Ct (BC + P) = QeRt 

entonces C = R y B = (Q − P)/R. Es decir que la integral particular es yc (t) = Q − P R e Rt 3. Solución general. Como dijimos la solución general de la ecuación (8) es la suma de la función complementaria y la integral particular. y (t) = yc (t) + yp (t) = Ae−P t + Q − P R e Rt 

Ejemplo 6 La ecuación diferencial de primer orden mas general es y 0 (t) + P(t)y(t) = Q(t) (9)

 donde P(t) y Q(t) son conocidas e y(t) es la función a ser determinada. La solución general para esta ecuación es y(t) = Ae R −P(t)dt + e − R P(t)dt Z Q(t)e R P(t)dtdt donde A es la constante de integración. 

1.4 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Una ecuación de segundo orden lineal puede ser escrita de la forma y 00 (t) + P (t) y 0 (t) + Q (t) y (t) = R (t) (10)

 El caso R (t) = 0 se dice que es homogénea, en otro caso es no–homogénea. 

Al igual que en el caso lineal la solución general se puede escribir como la suma de una solución general de la ecuación homogénea (la que se llama la solución complementaria y se denota por yc (t)) y una solución particular de la ecuación (10). Estudiaremos los casos que P (t) y Q (t) son funciones constantes. 

1.4.1 Ecuación homogénea La ecuación diferencial tiene la forma y 00 (t) + P (t) y 0 (t) + Q (t) y (t) = 0 (11) 7 

La solución general de esta ecuación homogénea tiene la forma y (t) = Ay1 (t) + By2 (t) donde y1 (t) e y2 (t) son funciones linealmente independientes. El método que desarrollaremos cumplirá con esto. 

Proponemos como solución y (t) = cert. Entonces reemplazando en (11) nos queda cert  r 2 + P r + Q  = 0 (12) 

Excluimos el caso c = 0 (ya que buscamos soluciones no triviales). Entonces necesitamos calcular para que valores de r la ecuación (12)

 tiene solución, es decir , debemos calcular las raíces de la ecuación (que se denomina ecuación característica asociada con (11) r 2 + P r + Q = 0 

las raíces son r1,2 = −P ± √ P2 − 4Q 2 

consideraremos 3 casos. 

Caso i. Raíces reales distintas. En este caso la solución será de la forma y (t) = c1e r1(t) + c2e r2(t) 

donde c1, c2 son las constantes de integración. 

Caso ii. Raíces complejas. En este caso la solución será de la forma y (t) = e −P t/2 (c1 cos bt + c2sen bt) 

Caso iii. Raicees reales iguales. En este caso tenemos que r = −P/2. Es decir que y (t) = c1e −P t/2 . Como la solución general debe ser suma de dos funciones linealmente independientes, proponemos como solución a y (t) = c2test entonces y 0 (t) = c2e st (1 + st) y y00 (t) = sc2e st (2 + st) 

reemplazando en la ecuación (11) nos queda 

            c2e sr  2s + s 2 t + P (1 + st) + Qt = 0 

o          c2e st  2s + P + t  s 2 + P s + Q  = 0 

como esta ecuación debe valer cero para todo t esto significa 

       ( 2s + P = 0 s

      2 + P s + Q = 0 

resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que s = −P/2 (Por ser las raíces iguales tenemos que P = 4Q). Por lo tanto la solución general a la ecuación (11) es de la forma y(t) = c1e −P t/2 + c2te−P t/2 = e −P t/2 (c1 + c2t) 

1.4.2 Ecuaciones no–homogéneas En la sección anterior vimos como podíamos calcular una solución general de una ecuación homogénea. Como la solución general de la ecuación (10) es suma de la solución general (yc (t))de la ecuación homogénea y una solución particular (yp (t)) para la ecuación (10). Solo nos resta calcular la solución particular para la ecuación no–homogénea. El método consiste en proponer soluciones y verificar que cumplen con la ecuación (10). Veamos algunos ejemplos. 

Ejemplo 7 Resolver la ecuación diferencial y 00 (t) − 4y (t) = 3 (13) 

Solución. 

1. Solución complementaria. Resolvemos la ecuación homogénea y 00 (t) − 4y (t) = 0 (14) proponemos como solución y (t) = cert entonces y 00 (t) = cr2 e rt reemplazando en la ecuación (14) 

nos queda cert  r 2 − 4  = 0 9 

es decir que las raíces características son r1 = 2 y r2 = −2. Por lo tanto estamos en el caso de raíces reales distintas. Por lo tanto la solución complementaria es yc (t) = c1e 2t + c2e −2t 

2. Solución particular. Proponemos como solución y (t) = A. Reemplazando en la ecuación (13) tenemos que 4A = 3. Por lo tanto la solución particular es yp (t) = 3/4 

3. Solución general. Es la suma de la solución complementaria y la solución particular y (t) = yc (t) + yp (t) = c1e 2t + c2e −2t + 3 4

 2 Ecuaciones de diferencias Las ecuaciones diferenciales (en problemas económicos) consideran la evolución de las variables económicas sobre el tiempo (variable t) como una variable continua. Las ecuaciones de diferencias consideran la variable de tiempo, t, como una variable discreta. En este contexto una ecuación de diferencia pude ser vista como un análogo a una ecuación diferencial. Denotaremos por ∆yt (en lugar de ∆ (y (t)) )la primer diferencia de una función y es decir ∆yt = yt+1 − yt y por ∆2 yt

 la deferencia segunda de y, es decir ∆ 2 yt = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2yt+1 + yt 

En general la diferencia n − exima ´ de una función es ∆ n yt = ∆n−1 yt+1 − ∆ n−1 yt 

Una ecuación en diferencias es una ecuación que involucra una función y sus diferencias. Resolver una ecuación de diferencias (al igual que una ecuación diferencial) es encontrar una función que cumpla la ecuación dada. Por ejemplo una solución de la ecuación de diferencia ∆yt = 2 o yt+1 − yt = 2 (15)

es yt = A + 2t, donde A es una constante (note que ´esta es la expresión más general que podemos escribir). Diremos que es la solución general de esta ecuación de diferencia. yt = At + (t − 1) B es una solución de la ecuación de diferencias ∆ 2 yt = ∆yt o yt+2 − yt+1 = yt+1 − yt . (16)

 Estas definiciones y ejemplos nos sugiere una similitud entre ecuaciones de diferencias y ecuaciones diferenciales (reemplazar ∆yt por y 0 (t)). Esta similitud es casi verdadera en general, solo hay que hacer algunos cambios. Análogamente a las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones de diferencias pueden ser lineales o no–lineales, homogéneas o no-homogéneas, de primer orden, segundo orden, etc. Por ejemplo la ecuación (15) es de primer orden, lineal y no–homogénea. La ecuación (16) es de segundo orden, lineal y homogénea. 

Nosotros estamos interesados en resolver ecuaciones de diferencias, presentaremos algunos ejemplos. 

2.1 Método iterativo Este método consiste en calcular los valores de la función suponiendo que se conocen los primeros valores. Veamos algunos ejemplos 

Ejemplo 8 Resolver la ecuación de diferencias (15) Solución. Esta ecuación de diferencia se puede escribir como yt+1 = 2 + yt 

supongamos que y0 = A, entonces y1 = 2 + A y2 = 2 + y1 = 2 + 2 + A 

y así siguiendo, esto nos lleva a proponer como solución general a yt = 2t + A 

ya que no estamos seguro que esta sea la solución, verificaremos que si lo es. 

Calculamos yt+1 = 2 (t + 1) + A 11 entonces yt+1 − yt = 2 (t + 1) + A − 2 − A = 2 

Ejemplo 9 (Ecuación de diferencias de primer orden, lineal, homogénea). 

Resolver yt+1 + ayt = 0 (17) 

Solución. Esta ecuación se puede escribir como yt+1 = −ayt supongamos que y0 = A, entonces y1 = −aA y2 = −ay1 = −a (−aA) = a 2A 

y así siguiendo, esto nos lleva a proponer como solución general a yt = A (−a) t (18) verifiquemos que es solución de la ecuación de diferencias (17). 

Calculamos yt+1 = A (−a) t+1 

entonces yt+1 − ayt = A (−a) t+1 − aA (−a) t = 0 

Nota 1 (Diferencias que no son diferencias) Aquí va una de las diferencias. La solución general de una ecuación diferencial de primer orden lineal homogénea toma la forma y (t) = Aert 

mientras que la solución general de una ecuación de diferencias de primer orden lineal homogénea es yt = A (−a) t 

Si miramos con un poco más de detalle vemos que ambas soluciones tienen forma exponencial una con base e r y la otra con base (−a). Es decir que las diferencias no son muy grandes(!).