Ecuaciones diferenciales de variables separables

 Tema 3

Ecuaciones diferenciales de variables separables

3.1 Introduccion

Definici´on 3.1. Una ecuaci´on diferencial (de primer orden) de variables separables es una

ecuaci´on del tipo

(3.1) x!

(t) = g(t)h(x(t)) (de forma abreviada: x! = g(t)h(x)),

donde las funciones g y h son funciones de una sola variable, conocidas y definidas en ciertos

intervalos I y J respectivamente. En el caso particular en que en la ecuaci´on (3.1) no aparece

expl´ıcitamente la variable independiente t, es decir, es de la forma:

(3.2) x! = h(x)

se dice que la ecuaci´on diferencial es aut´onoma.

En muchos textos, a las ecuaciones de la forma (3.1) les llaman ecuaciones de variables separadas. V´ease que es una ecuaci´on diferencial de primer orden x!

(t) = f(t, x(t)), donde la funci´on

f : I × J → R viene definida por f(t, x) = g(t)h(x), es decir, aparece con sus dos variables t y x

separadas.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En los casos (b), (c) y (e)

tenemos ecuaciones aut´onomas.

(a) x!

(t) = 2tx2(t) (b) x! = x3 (c) x! = 3x2/3

(d) x!

(t) = e−t2

x(t)

1 + x2(t) (e) x! = ax − bx2, a, b ∈ R (f) x!

(t) = log(x(t)) cos(2t)

2x2(t)+1

Las ecuaciones (a), (d) y (f) las escribiremos de forma abreviada as´ı:

x! = 2tx2, x! = e−t2

x

1 + x2 x! = log x · cos(2t)

2x2 + 1

En los cinco primeros ejemplos las funciones g y h est´an definidas (y son continuas) en R, es decir,

en estos casos I = J = R. En el ´ultimo g est´a definida en I = R pero h s´olo lo est´a en J = (0, ∞).

41

42 Ecuaciones diferenciales de variables separables

Una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea x!

(t) = a(t)x(t) tambi´en es una ecuaci´on de variables

separables.

Explicamos a continuaci´on la forma en que son maltratadas estas ecuaciones en muchos textos,

especialmente dirigidos a f´ısicos e ingenieros (y tambi´en a matem´aticos). En el procedimiento que

sigue se realizan ciertas manipulaciones donde falta el rigor matem´atico, algunas de ellas sin sentido,

como dividir por funciones que pueden anularse, tratamiento de la derivada x! = dx

dt como si fuese

un cociente, despejar x como si esto se pudiera hacer siempre, . . . .

Se escribe la ecuaci´on diferencial en forma abreviada y notando la derivada por dx

dt as´ı:

dx

dt = g(t)h(x).

Hasta aqu´ı correcto; es simplemente una notaci´on. Sin embargo, el siguiente paso es muy conflictivo

pues se escribe la ecuaci´on de forma equivalente, cuando en general no lo es si cabe la posibilidad

de estar dividiendo por valores que pueden anularse (no tendr´ıa sentido):

1

h(x)

dx

dt = g(t).

Lo peor viene ahora, cuando interpretan dx

dt como un cociente. El s´ımbolo dx

dt no es m´as que una

notaci´on para la derivada (dada por Leibnitz) que no se debe considerar como un cociente (en todo

caso, es el l´ımite de unos cocientes):

1

h(x)

dx = g(t) dt.

Ahora aprovechan que a las integrales y primitivas se les ponen unos “adornos” (a veces imprescindibles) del tipo dx, dt, . . . , que s´olo indican las variables independientes x, t. . . . , con respecto

a las cuales se integran, y escriben:

! 1

h(x)

dx =

!

g(t) dt + C, donde C ∈ R.

La aparici´on de la constante C en la ecuaci´on anterior habr´ıa que meditarla. Ahora se denota por

H a una primitiva de 1

h y por G a una primitiva de g y lo anterior se escibe as´ı:

H(x) = G(t) + C.

Finalmente, a veces, se atreven a decir que las soluciones se obtienen de la expresi´on anterior

despejando x; es decir,

x = x(t) = H−1

(G(t) + C).

Obviamente, esto ´ultimo se podr´a llevar a cabo si la funci´on H posee una inversa global, lo que no

es previsible que suceda en muchos casos.

Sin embargo, en muchas ocasiones, el procedimiento anterior funciona y es capaz de proporcionarnos todas (o casi todas) las soluciones de la ecuaci´on (3.1), por lo que podr´ıamos considerarlo

simplemente como una regla mnemot´ecnica.

Vamos a ilustrar el dudoso y atrevido procedimiento anterior con el ejemplo: x!

(t)=6tx2/3(t).

La cadena de equivalencias sugeridas ser´ıa la siguiente:

dx

dt = 6tx2/3 ⇐⇒

1

x2/3

dx

dt = 6t ⇐⇒ x−2/3 dx = 6t dt ⇐⇒ !

x−2/3 dx =

!

6t dt + C

⇐⇒ 3x1/3 = 3t

2 + C ⇐⇒ x1/3 = t

2 + K ⇐⇒ x = (t

2 + K)

3,

obten´endose as´ı las soluciones definidas por xK (t)=(t

2 + K)

3 , con K ∈ R.

3.1. Introducci´on 43

Se puede comprobar f´acilmente que todas estas funciones son efectivamente soluciones de la

ecuaci´on diferencial; curiosamente, son soluciones v´alidas en R y, sin embargo, en el caso K ≤ 0

cada una de ellas se anula en ciertos puntos. No obstante, podemos comprobar que las funciones

obtenidas no son todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial. Es evidente que la funci´on nula es

soluci´on en R y no est´a considerada dentro de esa familia de funciones. Por otra parte, obs´ervese

que para K = 0 tenemos la soluci´on definida por x(t) = t

6, que se anula en t = 0, pero la funci´on,

definida a trozos mediante la anterior y la nula: x(t) = "

0 si t ≤ 0

t

6 si t ≥ 0

tambi´en es soluci´on de la

ecuaci´on en el intervalo R y no ha sido proporcionada por el m´etodo.

x!t" ! t6

x!t" ! 0

"2 "1 "1

2 0 1

2 1 2

300

500

Figura 3.1: Gr´afica de la soluci´on anterior

De forma an´aloga podr´ıamos obtener otras soluciones definidas a trozos, usando la funci´on nula

y las otras funciones xK con K < 0, que no han sido dadas por el m´etodo anterior.

Obs´ervese que las soluciones x omitidas son las que se anulan en alg´un intervalo I, que, precisamente, son las que verifican h(x(t)) = 0 para cada t ∈ I. Estas no han sido inclu´ıdas porque el

m´etodo usado divide alegremente por h(x(t)). El programa Mathematica tampoco proporciona

estas soluciones, porque, posiblemente, lleve a cabo el mismo procedimiento.

Uno de nuestros objetivos es justificar, con rigor matem´atico, las ideas anteriores para la determinaci´on de las soluciones de una ecuaci´on de variables separables. Tambi´en daremos resultados

sobre existencia y unicidad para problemas de valores iniciales asociados a estas ecuaciones.

Algunas de las ecuaciones y problemas de Cauchy que veremos en este tema son de gran inter´es

te´orico porque, siendo ejemplos muy simples (en cuanto a c´alculos), sin embargo, pueden servir para

ilustrar y entender mejor cuestiones que se pueden plantear, de forma m´as general, en cualquier

ecuaci´on diferencial de primer orden y que se ver´an en pr´oximos temas y tambi´en en un segundo

curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.

En cuanto al estudio y resoluci´on de las ecuaciones de variables separables, se trate con menor

o mayor rigor, la idea inicial es pasar la expresi´on h(x(t)) al primer miembro de la ecuaci´on, con los

problemas que esto puede acarrear en ciertos casos. Esto puede llamar la atenci´on pues pasar´ıamos

de una ecuaci´on diferencial expl´ıcita a una que no lo es. Por esta raz´on vamos a iniciar nuestro

estudio con un tipo de ecuaci´on diferencial en forma impl´ıcita, donde la funci´on inc´ognita x s´olo

aparece en el miembro de la izquierda y a este tipo de ecuaci´on le vamos a llamar ecuaci´on de

variables separadas.

44 Ecuaciones diferenciales de variables separables

3.2 Ecuaciones diferenciales de variables separadas

Definici´on 3.2. Diremos que una ecuaci´on diferencial de primer orden es de variables separadas

cuando es de la forma

(3.3) q(x(t))x!

(t) = p(t) (de forma abreviada: q(x)x! = p(t)),

donde las funciones p y q son conocidas y definidas en ciertos intervalos It e Ix respectivamente.

La ´unica hip´otesis que impondremos, en principio, para poder trabajar es que p: It → R sea

continua en It y que q : Ix → R sea continua en Ix. De esta forma estas funciones poseen primitivas

en los intervalos indicados.

Nuestro primer objetivo es ver c´omo se obtendr´ıan las posibles soluciones de la ecuaci´on (3.3).

No se trata de dar un resultado de existencia de soluciones sino ´unicamente, en caso de existir,

c´omo se obtendr´ıan. La cuesti´on es muy f´acil de responder sin m´as que usar la regla de la cadena.

Obs´ervese que para que tenga sentido decir que una funci´on derivable x: I → R es soluci´on de la

ecuaci´on diferencial, esta funci´on debe tener la gr´afica contenida en It × Ix. A partir de ahora,

supondremos siempre que I es un intervalo en R no degenerado.

Proposici´on 3.1. Sean It e Ix intervalos en R y p: It → R y q : Ix → R funciones continuas.

Sean P y Q primitivas de las funciones p y q respectivamente en tales intervalos. Una funci´on

derivable x: I → R, con gr´afica contenida en It × Ix, es soluci´on de la ecuaci´on diferencial

q(x(t))x!

(t) = p(t)

si, y s´olo si, existe una constante C ∈ R tal que x viene definida impl´ıcitamente en I por la

ecuaci´on

Q(x) = P(t) + C,

es decir, Q(x(t)) = P(t) + C para cada t ∈ I.

Dicho de forma m´as coloquial, todas las posibles soluciones de la ecuaci´on diferencial vienen

dadas impl´ıcitamente por ecuaciones del tipo

(3.4) #

q(x) dx = #

p(t) dt + C donde C es constante.

Obs´ervese que lo anterior justifica, en parte, algunos de los manipulaciones realizadas cuando

explicamos la forma en que son tratadas estas ecuaciones en ciertos textos. Digamos que esto

justificar´ıa la siguiente manipulaci´on:

q(x) dx

dt = p(t) ⇐⇒ q(x) dx = p(t) dt ⇐⇒ #

q(x) dx = #

p(t) dt + C.

Prueba. Supongamos que x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial. Entonces

q(x(t))x!

(t) = p(t) para cada t ∈ I.

Usando la regla de la cadena, podemos afirmar que la composici´on (Q ◦ x) es una primitiva de

(q ◦ x)x! en el intervalo I pues

d

dtQ(x(t)) = Q!

(x(t))x!

(t) = q(x(t))x!

(t) para cada t ∈ I.

3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 45

Por tanto, (Q ◦ x) es una primitiva de p en el intervalo I. Como en un intervalo dos primitivas se

diferencian en una constante, podemos asegurar que existe C ∈ R tal que

Q(x(t)) = P(t) + C para cada t ∈ I,

es decir, x viene definida impl´ıcitamente en I por la ecuaci´on Q(x) = P(t) + C.

Rec´ıprocamente, supuesto que x: I → R es derivable y viene definida impl´ıcitamente en I por

Q(x) = P(t) + C

para alg´un C ∈ R, derivando en ambos miembros de la igualdad Q(x(t)) = P(t) + C, resulta

q(x(t))x!

(t) = p(t) para cada t ∈ I, es decir, x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial en I.

Advertencias:

1. La proposici´on anterior no es un resultado de existencia.

2. En general, se plantea el problema de despejar x de las ecuaciones Q(x) = P(t) + C para

obtener de forma expl´ıcita las expresiones de las posibles soluciones. Desgraciadamente, esto

no ser´a siempre posible. Unicamente cuando la funci´on ´ Q posee una inversa global Q−1

podr´ıamos escribir x(t) = Q−1 $

P(t) + C

%

.

3. Hay que resaltar que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales lineales, puede suceder que

para ciertas constantes C no se obtengan soluciones para la ecuaci´on diferencial, pues no est´a

asegurado que para cada C ∈ R la ecuaci´on Q(x) = P(t) + C defina impl´ıcitamente una

funci´on derivable. Por otra parte, a priori, no podremos asegurar que las posibles soluciones

que se obtengan est´en definidas en el intervalo It donde la funci´on p est´a definida y es continua.

Para clarificar lo dicho anteriormente proponemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.1. (cos x(t)) x!

(t)=2t.

Obs´ervese que aqu´ı las funciones definidas por p(t)=2t y q(x) = cos x est´an definidas y son

continuas en R. En este caso las ecuaciones resultantes son

#

cos x dx = #

2t dt + C, equivalentemente, sen x = t

2 + C

y est´a claro que si C = 2, en general si C > 1, la ecuaci´on anterior no define impl´ıcitamente

una funci´on. En los casos afirmativos, tampoco queda muy claro que se pueda despejar x de

la ecuaci´on anterior as´ı: x = arc sen(t

2 + C) pues la funci´on arcoseno s´olo toma valores en el

intervalo [−π/2, π/2] y en la expresi´on sen x = t

2 + C la variable x podr´ıa tomar cualquier valor

real. Para C = 0 la ecuaci´on dar´ıa lugar (entre otras) a la funci´on derivable x(t) = arc sen(t

2) , la

cual podemos comprobar que es soluci´on de la ecuaci´on diferencial, pero obs´ervese que s´olo estar´ıa

definida en el intervalo [−1, 1] y parece que no se puede extender a una soluci´on definida en un

intervalo que contenga estrictamente a [−1, 1], mientras que la funci´on p est´a definida en todo R .

A continuaci´on intentamos obtener un resultado an´alogo para un problema de valor inicial. Este

resultado se podr´ıa deducir del anterior pero, a mi entender, queda m´as claro si lo obtenemos de

una forma directa, con un razonamiento an´alogo.

46 Ecuaciones diferenciales de variables separables

Proposici´on 3.2. Sean It e Ix intervalos en R, p: It → R y q : Ix → R funciones continuas y

t0 ∈ It y x0 ∈ Ix. Una funci´on derivable x: I → R, con gr´afica contenida en It × Ix, es soluci´on

del problema de valor inicial

(P): "

q(x(t))x!

(t) = p(t)

x(t0 ) = x0

si, y s´olo si, verifica:

1. x(t0 ) = x0

2. x viene definida impl´ıcitamente en I por la ecuaci´on:

(3.5) ! x

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds.

Prueba. En el enunciado del teorema est´a impl´ıcito que I un intervalo que contiene al punto t0 .

Sea x: I → R, con gr´afica contenida en It × Ix, soluci´on de (P). Por definici´on verifica la

condici´on x(t0 ) = x0 . Por otra parte, al ser p continua en I y, por tanto, (q ◦ x)x! tambi´en lo es,

estas funciones son integrables-Riemann en cualquier intervalo compacto contenido en I. Por tanto

! t

t0

q(x(s))x!

(s) ds =

! t

t0

p(s) ds para cada t ∈ I.

Teniendo en cuenta que x(t0 ) = x0 y el teorema del cambio de variables para integrales definidas,

obtenemos

! x(t)

x0

q(u) du =

! x(t)

x(t0 )

q(u) du =u=x(s)

! t

t0

q(x(s))x!

(s) ds para cada t ∈ I.

Por tanto, se deduce que x verifica

(∗)

! x(t)

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds para cada t ∈ I,

es decir, x viene definida impl´ıcitamente en I por la ecuaci´on (3.5).

Rec´ıprocamente, si x: I → R es una funci´on derivable que viene definida impl´ıcitamente en

I por la ecuaci´on (3.5), derivando en ambos miembros de la expresi´on (∗), usando el teorema

fundamental del c´alculo y la regla de la cadena, se obtiene

q(x(t))x!

(t) = p(t) para cada t ∈ I.

Si, adem´as, x verifica la condici´on x(t0 ) = x0 , se concluye que x es soluci´on del problema de Cauchy

(P) en el intervalo I.

El resultado anterior no asegura que el problema (P) posea soluci´on, ni que sea ´unica en el

caso de que haya soluci´on; s´olo da la forma de encontrar las posibles soluciones de (P), en el caso

de que existan. Para clarificar esta cuesti´on exponemos tres ejemplos muy simples (que plantean

c´alculos inmediatos). En el primero vamos a ver que no hay soluci´on, en el segundo vamos a tener

dos soluciones y en el tercero hay una ´unica soluci´on

3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 47

Ejemplo 3.2. (P): "

x(t)x!

(t) = −t

x(0) = 0

El resultado anterior nos asegura que, si (P) posee soluciones en alg´un intervalo I con 0 ∈ I,

´estas deben venir definidas impl´ıcitamente por

! x

0

s ds =

! t

0

−s ds, es decir, x2 = −t

2.

Sin embargo, no hay funci´on x: I → R que verifique (x(t))2 = −t

2 para todo t ∈ I, siendo I un

intervalo no degenerado. Por tanto, el problema (P) no posee soluci´on.

Ejemplo 3.3. (P): "

x(t)x!

(t) = t

x(0) = 0

Aqu´ı la ecuaci´on (3.5) resultante es

! x

0

s ds =

! t

0

s ds, equivalentemente, x2 = t

2.

La ecuaci´on anterior define impl´ıcitamente en cualquier intervalo I con 0 ∈ I (en particular en R )

infinitas funciones, pero entre ellas s´olo hay dos funciones derivables: las definidas por x1 (t) = t

y x2 (t) = −t. Adem´as, ambas verifican la condici´on inicial x(0) = 0. Por tanto, el problema de

Cauchy (P) posee dos soluciones definidas en R, que son las dos indicadas anteriormente.

Ejemplo 3.4. (P): "

x(t)x!

(t) = t

x(0) = 1

En este caso la ecuaci´on (3.5) resultante es

# x

1 s ds = # t

0 s ds, equivalentemente, x2 = 1 + t

2.

La ecuaci´on anterior define impl´ıcitamente en cualquier intervalo I , 0 (en particular en R ) dos

funciones derivables: las definidas por x1 (t) = √

1 + t2 y x2 (t) = −

√

1 + t2, pero ´unicamente la

primera verifica la condici´on inicial x(0) = 1, por lo que en este caso tenemos una ´unica soluci´on

del problema v´alida en R, que es x(t) = &1 + t2.

A la vista de lo anterior se hace necesario establecer un resultado que garantice la existencia

y unicidad de soluci´on para un problema de valor inicial y esto lo vamos a conseguir usando el

teorema de la funci´on impl´ıcita (aunque cabe la posibilidad de usar un resultado m´as propio de un

primer curso de An´alisis, v´ıa funciones inversas). Esencialmente la ´unica hip´otesis adicional que

va aparecer es una condici´on sobre la funci´on q en el punto x0 . Obs´ervese que en los dos primeros

ejemplos anteriores, se verifica q(x0 ) = 0 mientras que en el tercero q(x0 ) .= 0. Esta ´ultima condici´on

va a resultar esencial para asegurar la existencia y unicidad. El m´etodo que vamos a usar aqu´ı

para la prueba, usando el teorema de la funci´on impl´ıcita, lo adaptaremos y generalizaremos en

pr´oximos temas para otras ecuaciones diferenciales.

48 Ecuaciones diferenciales de variables separables

Teorema 3.1 (Existencia y unicidad local). Sean It e Ix intervalos en R, p: It → R y q : Ix → R

funciones continuas y t0 ∈ ◦

It y x0 ∈ ◦

Ix. Si q(x0 ) .= 0 existe un intervalo abierto I tal que

t0 ∈ I ⊂ It y tal que el problema de valor inicial

(P): "

q(x(t))x!

(t) = p(t)

x(t0 ) = x0

posee una ´unica soluci´on (de clase uno) definida en I. Esta soluci´on viene definida impl´ıcitamente

en I por la ecuaci´on

! x

x0

q(s) ds =

! t

t0

p(s) ds.

Observaci´on: Para ser m´as preciso, el teorema asegura la existencia y unicidad de soluci´on, con

gr´afica contenida en ◦

It × ◦

Ix, para el problema (P).

Prueba. (Usando el teorema de la funci´on impl´ıcita).

La ´ultima parte de este resultado est´a establecida en la proposici´on 3.2. Seg´un esta misma

proposici´on, una funci´on derivable x: I → R, con gr´afica contenida en It × Ix, es soluci´on del

problema (P) si y s´olo si, verifica la condici´on inicial y viene definida impl´ıcitamente en I por la

ecuaci´on

! x

x0

q(s) ds −

! t

t0

p(s) ds = 0,

que es una ecuaci´on del tipo F(t, x)=0, donde la funci´on F est´a definida por

F(t, x) = ! x

x0

q(s) ds −

! t

t0

p(s) ds.

Vamos a considerar el abierto en R2

dado por A = ◦

It × ◦

Ix y F : A → R. Se verifica lo siguiente:

1. (t0 , x0 ) ∈ A y F(t0 , x0 ) = 0; es decir, el punto (t0 , x0 ) verifica la ecuaci´on F(t, x) = 0.

2. Al ser p y q continuas en It e Ix respectivamente, el teorema fundamental del c´alculo, nos

asegura que para todo (t, x) ∈ A existen las derivadas parciales ∂F

∂t (t, x), ∂F

∂x (t, x) y verifican

∂F

∂t

(t, x) = −p(t), ∂F

∂x (t, x) = q(x).

Luego F ∈ C

1

(A, R) y ∇F(t0 , x0 ) = (−p(t0 ), q(x0 )).

3. ∂F

∂x (t0 , x0 ) = q(x0 ) .= 0.

Por tanto, podemos aplicar el teorema de la funci´on impl´ıcita a la funci´on F en el punto (t0, x0) y,

as´ı, podemos afirmar que existe un intervalo abierto I, con t0 ∈ I, y una ´unica funci´on x: I → R

de clase C

1

tal que x(t0 ) = x0 y que verifica: x(t) ∈ ◦

Ix y F(t, x(t)) = 0, para cada t ∈ I, es decir,

una ´unica soluci´on del problema (P) definida en I.

Observacion sobre la prueba: Otra forma posible de enfocar la prueba del teorema es la siguiente. Seg´un la proposici´on 3.2, una funci´on derivable x: I → R, es soluci´on del problema (P) si y s´olo

3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 49

si, verifica la condici´on inicial y viene definida impl´ıcitamente en I por la ecuaci´on Q(x) = P(t),

donde

Q(x) = ! x

x0

q(s) ds y P(t) = ! t

t0

p(s) ds.

Al ser q(x0 ) .= 0 y q continua, existe un intervalo J tal que x0 ∈ ◦

J y q(x) .= 0 para cada x ∈ J. De

esta forma Q!

(x) = q(x) .= 0 para cada x ∈ J y, dada la continuidad de Q!

, se tiene que la funci´on

Q es estrictamente mon´otona en J y, por tanto, inyectiva en J. Arreglando un poco las cosas (no

es trivial) podemos considerar Q biyectiva y conseguir que la ecuaci´on Q(x) = P(t) sea equivalente

a x = Q−1

(P(t)) siempre que t se mueva en cierto intervalo abierto I que contiene a t0 . De esta

forma la ecuaci´on Q(x) = P(t) definir´ıa una ´unica funci´on derivable en el intervalo I, la definida

por x(t) = Q−1

(P(t)), que adem´as verificar´ıa x(t0 ) = Q−1

(0) = x0 .

Observaciones:

1. A priori no se conoce el intervalo I donde la soluci´on est´a definida y en muchos casos, como

ya veremos, ser´a imposible conocerlo. Puede ser muy “peque˜no” y no tiene porqu´e coincidir

con It.

2. La hip´otesis esencial del teorema: q(x0 ) .= 0 es ´unicamente una condici´on suficiente para

asegurar la existencia y unicidad de soluci´on, pero no es necesaria, como se puede comprobar

con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.5. (P): "

x2(t)x!

(t) = t

2

x(0) = 0

Obs´ervese que en este ejemplo se verifican todas las hip´otesis del teorema anterior salvo la

condici´on clave, pues q(0) = 0.

La proposici´on 3.2 nos asegura que, si (P) posee soluciones en alg´un intervalo I , 0 ´estas

deben venir definidas impl´ıcitamente por

! x

0

s2 ds =

! t

0

s2 ds, equivalentemente, x = t.

Obviamente, la anterior ecuaci´on s´olo define una funci´on derivable en cualquier intervalo

I , 0, que es la definida por x(t) = t , la cual verifica adem´as la condici´on inicial. Por tanto,

a pesar de que q(0) = 0, el problema (P) posee una ´unica soluci´on en cada intervalo I , 0.

Para resolver una ecuación diferencial por medio de separación de variables, debemos ser capaces de llevarla a la forma 

\[f(y)\,dy=g(x)\,dx\], donde 

\[f(y)\] es una expresión que no contiene la variable 

\[x\] y 

\[g(x)\] es una expresión que no contiene la variable 

\[y\].

No todas la ecuaciones diferenciales son como esa. Por ejemplo, 

 

\[\dfrac{dy}{dx}=x+y\] no puede llevarse a la forma 

\[f(y)\,dy=g(x)\,dx\], no importa cuánto lo intentemos.

De hecho, un gran desafío para usar separación de variables es identificar si podemos aplicar el método. Las ecuaciones diferenciales que pueden resolverse por medio de separación de variables se llaman ecuaciones separables.

Entonces, ¿cómo puedes decir si una ecuación es separable? La clase más común son ecuaciones donde 

 

\[\dfrac{dy}{dx}\] es igual a un producto o un cociente de 

\[f(y)\] y 

\[g(x)\].

Por ejemplo, 

 

 

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\blueD{g(x)}}{\maroonD{f(y)}}\] puede transformarse en 

\[\maroonD{f(y)}dy=\blueD{g(x)}dx\] cuando se multiplica por 

\[\maroonD{f(y)}\] y 

\[dx\].

También, 

 

\[\dfrac{dy}{dx}=\maroonD{f(y)}\blueD{g(x)}\] puede transformarse en 

 

\[\dfrac{1}{\maroonD{f(y)}}\,dy=\blueD{g(x)}dx\] cuando se divide entre 

\[\maroonD{f(y)}\] y se multiplica por 

\[dx\].

Aquí hay algunos ejemplos concretos:

 \[\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\overbrace{\maroonD{\sin(y)}}^{\maroonD{f(y)}}\overbrace{\blueD{\ln(x)}}^{\blueD{g(x)}}\\\\\dfrac{1}{\sin(y)}dy&=\ln(x)\,dx\\\\\end{aligned}\]

 \[\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\blueD{x^3-5x}}^{\blueD{g(x)}}}{\underbrace{\maroonD{e^y}}_{\maroonD{f(y)}}}\\\\e^y\,dy&=(x^3-5x)\,dx\\\\\end{aligned}\]

 \[\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\maroonD{\sqrt y}}^{\maroonD{f(y)}}}{\underbrace{\blueD{\cos(x)}}_{\blueD{g(x)}}}\\\\\dfrac{1}{\sqrt y}dy&=\dfrac{1}{\cos(x)}dx\end{aligned}\]

Otras ecuaciones deben ser manipuladas ligeramente antes de que estén en la forma 

 \[\dfrac{dy}{dx}=f(y)g(x)\]. Por ejemplo, necesitamos factorizar el lado derecho de 

 \[\dfrac{dy}{dx}=xy-7x\] para llevarla a la forma deseada:

 \[\dfrac{dy}{dx}=xy-7x=\overbrace{\blueD x}^{\blueD{g(x)}}\overbrace{(\maroonD{y-7})}^{\maroonD{f(y)}}\]

Problema 1

¿Puede resolverse esa ecuación por medio de separación de variables?

 \[\dfrac{dy}{dx}=3y-x^2y\]