Ecuación diferencial exacta

 Hernando Pérez Aguilar

Ahora sabemos que método aplicar si nos encontramos con ecuaciones diferenciales no lineales con variables separables u homogéneas.

Esta entrada la dedicaremos a un tipo de ecuaciones diferenciales no lineales conocidas como ecuaciones exactas. Estas ecuaciones suelen ser más complejas e interesantes que las anteriores y su método de resolución involucra un mayor número de pasos a seguir.

Ecuaciones diferenciales exactas

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,}$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x}}$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función ${\displaystyle F(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle dF(x,y)=\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }x}dx+\frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}dy}$

donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }x}=M(x,y)}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}=N(x,y)}$.

Dado que ${\displaystyle F(x,y)}$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x}=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}F}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}$.

Método de resolución

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Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

${\displaystyle F(x,y)=\int Mdx+g(y)=\int Ndy+g(x)}$

• Para despejar la función g se deriva ${\displaystyle F(x,y)}$ con respecto a la variable independiente de g.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\int Mdx\right)+\frac{\mathrm{\partial }g(y)}{\mathrm{\partial }y}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\int Ndy\right)+\frac{\mathrm{\partial }g(x)}{\mathrm{\partial }x}}$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de ${\displaystyle F(x,y)}$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.

${\displaystyle N=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\int Mdx\right)+\frac{\mathrm{\partial }g(y)}{\mathrm{\partial }y}}$

${\displaystyle g(y)=\int Ndy-\int \left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\int Mdx\right)\right]dy}$

${\displaystyle M=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\int Ndy\right)+\frac{\mathrm{\partial }g(x)}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle g(x)=\int Mdx-\int \left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\int Ndy\right)\right]dx}$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general ${\displaystyle F(x,y)}$.

${\displaystyle F(x,y)=\int Mdx+\int Ndy-\int \left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\int Mdx\right)\right]dy=C}$

${\displaystyle F(x,y)=\int Ndy+\int Mdx-\int \left[\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\int Ndy\right)\right]dx=C}$

Factor integrante

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Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial ${\displaystyle \mu (x,y)}$ llamada factor integrante, tal que:

${\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0}$ sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x)}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}}$

Cabe decir que para que ${\displaystyle \mu (x)}$ exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro ${\displaystyle \frac{M_y-N_x}{N}}$ tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que ${\displaystyle M_y}$ y ${\displaystyle N_x}$ equivalen a las parciales de estas; ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y}}$ y ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x}}$ respectivamente).

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^2)dx+(x^3+10y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle \frac{M_y-N_x}{N}=1}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x)=e^x}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^2)e^{x}dx+(x^3+10y)e^{x}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x^{3}y+5y^2)e^x=c}$

Factor integrante sólo en función de y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (y)}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3x^{2}y+y^2)dx+(y^2-x^3)dy=0}$, entonces ${\displaystyle \frac{N_x-M_y}{M}=\frac{-2}{y}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (y)=\frac{1}{y^2}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle \left(1+3\frac{x^2}{y}\right)dx+\left(1-\frac{x^3}{y^2}\right)dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=x+y+\frac{x^3}{y}=c}$

Factor integrante sólo en función de x+y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x+y)}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (x+y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M-N}dz}}$ Con ${\displaystyle z=x+y}$

Ejemplo: ${\displaystyle (3xy-y^2)dx+(x^2-4y^2+xy)dy=0}$, entonces ${\displaystyle \frac{N_x-M_y}{M-N}=\frac{1}{x+y}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x+y)=x+y}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle [(x+y)(3xy-y^2)]dx+[(x+y)(x^2-4y^2+xy)]dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=(x+y{)}^2(xy-y^2)=c}$

Factor integrante sólo en función de x·y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (xy)}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N\ast y-M\ast x}dz}}$ Con ${\displaystyle z=x\cdot y}$

Donde ${\displaystyle M\ast x=}$ M·x

Cabe mencionar que:

${\displaystyle M_y=\frac{\mathrm{\partial }M}{\mathrm{\partial }y},N_x=\frac{\mathrm{\partial }N}{\mathrm{\partial }x}}$

Ejemplo: ${\displaystyle (y+x^{3}y+2x^2)dx+(x+4x{y}^4+8y^3)dy=0}$, entonces ${\displaystyle \frac{M_y-N_x}{N.y-M.x}=\frac{-1}{xy+2}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (xy)=\frac{1}{xy+2}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle \frac{y+x^{3}y+2x^2}{xy+2}dx+\frac{x+4x{y}^4+8y^3}{xy+2}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=\frac{1}{3}{x}^3+y^4+\ln (xy+2)=c}$

Factor integrante sólo en función de ${\displaystyle x^2+y^2}$

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma ${\displaystyle \mu (x^2+y^2)}$, entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mu (xy)=e^{\frac{1}{2}\int \frac{M_y-N_x}{N\ast x-M\ast y}dz}}$ Con ${\displaystyle z=x^2+y^2}$

Ejemplo: ${\displaystyle (x-y)dx+(x+y)dy=0}$, entonces ${\displaystyle \frac{M_y-N_x}{N.x-M.y}=\frac{-2}{x^2+y^2}}$ y por lo tanto ${\displaystyle \mu (x^2+y^2)=\frac{1}{x^2+y^2}}$ por lo que tenemos la ecuación exacta:

${\displaystyle \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy=0}$

La solución general viene dada implícitamente por: ${\displaystyle F(x,y)=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)-\arctan \left(\frac{x}{y}\right)=c}$